Kamilova zebiniso nusrat qizi son tushunchasining rivojlanish tarixi va istiqbollari

 
2.1. HAQIQIY SONLAR
 
Pifogor maktabida ratsional sonlar har qanday kesmalarni aniq o`lchash 
uchun yetarli emasligi isbotlangan, o`lchovdosh kesmalar mavjudligi isbotlangan. 
Masalan, yuzasi 2 teng kvadratning diogonali va tomoni o`lchovdosh emasligi 

---

28 
Yevklidning «Negizlar»i 10-kitobida ta'kidlangan. Bu kashfiyotlar Pifogor 
nazariyasiga zid edi. Pifogorchi Gippas Metapontskiy (eramizdan avvalgi V asr) 
ishini davom ettirgan Teodor Kirenskiy 3, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17 
kvadrat birlik yuzali kvadratlarning tomoni birlik kvadratning tomoni bilan 
o`lchovdosh emasligini, Tietet esa umumiyroq, ya'ni, yuzasi to`liq kvadratga teng 
bo`lmagan istalgan natiral songa teng yuzali kvadratning tomoni tomoni birlik 
kvadratning tomoni bilan o`lchovdosh emasligini ta'kidlagan. 
2.1.1-§ IRRATSIONAL SONLAR 
 
Qadimgi Misrda va Vavilonda XX asr ilgari nisbatlar (ratsional sonlar) bilan 
ifodalashning imkoni bo`lmagan, o`lchab bo`lmas kesmalar ma’lum bo`lgan (
, 
, π…).
O`lchab bo`lmas kesmalarni haqiqatda mavjudligini ochish aniq ma’lum 
emas, ya’ni isbotlanmagan edi. Bular quyidagilarda sodir bo`lgan: 
geometrik hisoblashlarda kvadratning tomoni va diagonali orasida umumiy 
o`lchov birligini topish; 
muzika nazariyasida oktavani teng ikkiga bo`lish, 1 va 2 sonlarining o`rta 
geometrigini topishga keltirilish;
arifmetikada kvadratga oshirish bilan ikkini hosil qiluvchi kasrni topish;
Bu yerda mulohazalar hozirda biz 
deb biladigan songa teng kattalikni 
topish haqida borgan. Ikkita kesmaning kvadratning tomoni va diagonali o`rtasida 
umumiy o`lchov birligi bo`yicha bog`lanishni ifodalab bo`lmasligi usha davrgacha 
bo`lgan matematikaning, shuningdek qadimgi grek matematikasining krizisiga 
aylangan edi. 
Kesmalarning bir meyor o`lchov birliklari bilan o`lchanmasligi qadimgi grek 
matematikasining 
rivojlanishiga 
to`sqinlik 
qila 
olmadi. 
Greklar 
bu 
nomutanosiblikni mutanosib holda hisobga oladigan kesmalarning nisbatlari 

---

29 
nazariyasini ishlab chiqishgan. Ular bu kattaliklarni uzunliklari bo`yicha 
taqqoslashni bu nisbatlar o`rtasida geometrik shaklda xuddi son singari arifmetik 
amallar bajarishni bilishganlar.
Hindlar irratsional sonlarni sonlarning yangi ko`rinishi sifatida qabul 
qilishgan va ular ustida ratsional sonlar ustida bajariladigan amallar singari 
hisoblash ishlarini olib borishgan. Masalan, hind matematigi Bxaskara maxrajdagi 
irratsionallikni surat va maxrajni shu irratsionallikka ko`paytirish bilan maxrajdagi 
irratsionallikni yo`qotgan. Unda quyidagi ifodalarni uchratamiz:
Trigonometriya mustaqil fan sifatida taraqqiy etishi bilan, XIII asr ozorboyjn 
olimi Nasiriddin at-Tusiy (1201 – 1274 yilar) o`zaro bir o`lchovda hisoblab 
bo`lmaydigan miqdorlarni: “Bu munosabatlarning har birini boshqasi bilan bir 
xildagi birliklarda ifodalash mumkin bo`lgan miqdorlar”-son sifatida
ta’riflagan.
Songa shu kabi bahoni Umar Hayyom ham berib o`tgan edi.
Yevropada geometrik birgalikda o`lchovdosh bo`lmagan sonlar o`rta 
asrlarda birmuncha e’tibordan chetda qolgan bo`lsada, irratsional sonlardan 
ayrimlari ma’lum simvollar bilan belgilangan holda mavjud bo`lgan. Ularni 
“Haqiqiy emas”, “kar” kabi nomlashan. 
Dekart geometriyasining (1637y) paydo bo`lishi bilan irratsional, manfiy son 
tushunchasi 
qo`llanila 
boshlandi. 
Dekart 
g`oyalari 
son 
tushunchasini 
umumlashtirishga olib keldi. Matematikaga noma’lum miqdorlar kiritildi.
R.Dekartning «Geometriya» asari paydo bo`lishi bilan irratsional sonni 
tushunish osolashdi. Son o`qida irratsional son ham ratsional sonlar bilan birga 
nuqta sifatida tasvirlandi. Bu bilan Yevropada XVI-XVII asrda sonlarni haqiqiy 
sonlar bilan kengaytirishga harakatlar boshlandi. Dekart sonlarni kesma bilan 
ifodalash bilan son va geometrik miqdor orasidagi uzilishni tikladi va algebra va 
geometriya o`rtasida ko`prik yasadi. N'yuton, Eyler, Lambert, Bolsano, Koshi, 
Veyershtrass va Dedekindlar o`z haqiqiy sonlarni tushuntirishda katta izlanishar 
olib borishdi.

---

30 
XVIII asrda irratsional son bo`yicha uchta tushuncha mavjud edi: 
irratsional son
butun yoki kasr sondan n-ildiz chiqarishda hosil qilingan son 
(ildizdan chiqarilganda “aniq” butun yoki kasr miqdor bo`lmagan hol) tushuniladi; 
irratsional son
unga istalgancha ratsional yaqinlashish mumkin bo`lgan 
miqdor chegarasi;
irratsional son
bir kattalikni shu jinsdagi ikkinchi kattalikka nisbatining 
birliklarda hisoblash mumkin bo`lmagan sonlari. 
Keyinchalik Eyler va Lambert irratsional sonni cheksiz nodavriy o`nli 
kasrlar ko`rinishida ifodalanadigan sonlar deb ko`rsatishgan. (masalan, π = 
3,141592…).
Irratsional son
lar o`zining keyingi rivojlanishini XIX asrning ikkinchi 
yarmida Dedikind, Kantor va Veyershtrasning matematik analiz masalalarini 
yechish natijalari bilan bo`g`liq.
Ratsional va irratsional sonlar 3-darajali umumlashmasi Haqiqiy sonlarni 
kelib chiqishini ta’minladi.