Ызбекистон Республикаси Олий ва

Расм 9. (52) илдизларининг мавжудлиги
(y₁қ1, y₂қ(a/b)x₀ exp(2(1- x₀)))
Демак, кўрилаётган биомеханик тизим учта мувозанат нуқтасига эга (тривиал ва икита нотривиал). Исбот қилинган теоремалардан маълумки, ечим мусбат сон ўқининг чекли областида бўла олади. Агар мувозанат нуқтаси турғун бўлса, ечимлар шу нуқтага яқинлашади, нотурғун бўлса, ечимлар ундан узоқлашади.
Мувозанат нуқталарнинг турғунлигини таҳлил қилиш учун (49)ни мувозанат нуқталари атрофида чизиқлаштирамиз. Тривиал мувозанат нуқтасининг турғун эканлиги (49) дан аниқ кўриниб тургани учун, чизиқлаштириш фақат нотривиал мувозанат нуқталари атрофида амалга оширилади. Бунинг учун янги жуда кичик ўзгарувчан - y(t) ни киритамиз:


.

Буни (49) га қўйиб ва y(t) нинг катта даражаларини ҳисобга олмасак, қуйидаги чизиқли тенгламага келамиз

. (54)

Шу турдаги дифференциал айирма тенгламалар учун характеристик тенглама тузиш усулини қўллаймиз:

. (55)

Хақиқий  учун (55)нинг чап томонини y₁, ўнг томонини эса y₂ орқали ифодалаб, қуйидаги графикни қуришимиз мумкин

Расм 10. (55) тенгламаси илдизлари мавжудлиги

Графикдан кўриниб турибдики, (55)нинг х₀₂ учун (0<х₀₂<1/2) мусбат илдизи мавжуд ва, демак, х₀₂ мувозанат нуқтаси нотурғун.

Биз (55) типидаги тенгламаларнинг манфий ечимлари мавжудлигини аниқлаш учун тузилган «Хейс шартлари» дан фойдаланишимиз мумкин. Бунинг учун (55)ни қуйидаги кўринишга келтирамиз

ва Хейс шартларини ёзамиз

(56)

бу ерда  ,  қ -(bh)tg тенгламасининг илдизи (0<<).

Кўриниб турибдики, биринчи шарт ҳамма вақт бажарилади. Иккинчи шарт х₀₂ учун бажарилмайди, х₀₃ учун эса биринчи ва иккинчи шартлар бажарилади. х₀₃ нинг турғунлиги (56) даги учинчи шартга боғлиқ. Биз бу ҳолатни bhқ1 учун кўриб чиқамиз. Унда х₀₃ учун (56) даги учинчи шарт қуйидагича ёзилади


,

бу ерда  ,  қ -tg тенгламасининг илдизи (0<<).  қ -tg тенгламасини ечганда Брадис жадвалидан фойдалансак ёки эканлигини топамиз.

Расм 11. (49) аттракторининг мавжудлиги
(y₁қx, y₂қ(a/b)x² exp(2(1- x))
Бу тенгсизликни, мувозанат тенгламасидан фойдаланиб, (49) параметрлари орқали ифодалашимиз мумкин


. (57)

Демак, агар шу шарт бажарилсагина (55) илдизлари манфий ва (49)нинг х₀₃ мувозанат нуқтаси турғун бўлади.

Шундай қилиб, нотривиал мувозанат нуқталаридан бири (х₀₂) нотурғун, иккинчиси (х₀₃ ) эса – «фаолий-актив» бўлиб
(х₀₂ , ) областида ечимларини ўзига тортувчи аттрактор (расм 11 га қаранг).
Агар (57) бажарилмаса, х₀₃ нотурғун бўлади ва унинг атрофида Пуанкаре туридаги лимит цикллар пайдо бўлади; бошқача қилиб айтганда, Хопф бифуркацияси вужудга келади. Бу ерда лимит цикллар ечимларни ўзига тортиш хусусиятига эга бўладилар, яъни «аттрактор лимит циклига» айланадилар. (49) параметрлари қийматининг ўзгариши «аттрактор лимит цикл»ларнинг ҳам нотурғун бўлишига ва «ғалати» аттракторга айланишига олиб келади. (49) ечимини бундай ҳолларда таҳлил қилиш учун, ЭҲМни қўллаш ва (49)нинг модел тизимларига ўтиш яхши натижа беради. Агар bh>>1 бўлса, биз (49)нинг функционал модел тизимини


(58)

ва унинг дискрет аналоги

(59)

тенгламаларини таҳлил қилиб, юрак фаолиятининг энг содда, умумий қонуниятларини аниқлашимиз мумкин.

(59)ни ЭҲМда таҳлил қилиш Кёнингс-Ламерей диаграммаларини қуриш ва Ляпунов кўрсаткичларини ҳисоблаш орқали амалга оширилиши мумкин. Шу йўл билан юрак тизимида ритмик фаолият (Пуанкаре турдаги лимит цикллар – расм 12), аритмия (норегуляр тебранишлар (хаос) – расм 13, чапда) ва юракнинг тўсатдан тўхтаб қолиш («қора ўрама» - расм 14, ўнгда) ҳодисалари моделлаштирилиши мумкин.