Ызбекистон Республикаси Олий ва

6.3. Биомеханика дифференциал-айирма тенгламаларини
сифатий таҳлил қилиш

Ушбу қўлланмада келтирилган замонавий усуллар биомеханика масалаларини ечишда унинг характерли ечимларини топиш, таҳлил қилиш ва тизимда регуляр ва норегуляр тебранишлар мавжудлигини аниқлашда ёрдам беради. Лекин биомеханика соҳасидаги конкрет бир тенглама кўрилганда унинг биологик жараёнга мос келиши, сифатий ва ҳисобий таҳлилларининг жуда кўп қирралари намоён бўлади ва уларга алоҳида эътибор билан ёндошишни талаб қилади.

Юқори айтилганларни ҳисобга олиб биз конкрет бир биомеханика соҳасидаги модел ва унинг тенгламаси умумий таҳлилини кўриб чиқамиз.
Агар юрак фаолиятини унинг тўқима мускуллари қисқариши билан боғлаб ифодаласак юрак фаолияти биомеханик модели учун жуда ҳам катта даражали дифференциал-айирма тенгламаларга келамиз. Биофизик жараёнлар қонунияти ва Н.Н.Тихоновнинг дифференциал тенгламалар редукцияси ҳақидаги теоремага асосланиб бу тенгламалар тизимини соддалаштиришимиз ва қуйидаги дифференциал-айирма тенглама шаклида ёзишимиз мумкин:


, (49)

бу ерда x(t) – t вақтдаги юрак тўқимасининг фаоллашган хужайралар сонини ифодаловчи қиймат; а – юрак тўқимаси хужайраларининг ўртача фаоллашиш тезлигини характерловчи параметр; b – юрак тўқимаси хужайраларининг ўртача пассивлашиш тезлигини характерловчи параметр; h – юрак идора тизимида тескари алоқа учун зарур бўлган вақт оралиғини характерловчи параметр (ҳамма параметрлар мусбат).

Биз бу тенгламани юрак фаолияти механизмларини таҳлил қилишга ишлатишимиз учун унинг ечимлари мавжудлигини, ягоналигини, мусбатлигини ва чексиз ўса олмаслигини кўрсатишимиз керак.
Мавжудлик ва ягоналик теоремаси
Агар (t) [t₀, t₀Қ1] да узлуксиз функция бўлса, унда (49)нинг [t₀, t₀Қ1] да (t) га тенг бўлган, [ t₀Қ1, ) да ягона, узлуксиз ечими мавжду бўлади.
Исбот : [ t₀Қ1, t₀Қ2] да (49) тенгламаси қуйидаги кўринишда бўлади ([t₀, t₀Қ1] да x(t)(t) бўлгани учун)


. (50)

Бу тенгламанинг, дифференциал тенгламаларни интеграллашнинг ҳаммага маълум оддий усулларидан фойдаланиб, ечимини топамиз ва бошланғич қийматини (t₀Қ1) га тенг қилиб олиб, узлуксизлигини таъминлаймиз. Бу жараённи кетма-кет давом эттириб, [ t₀, ) учун узлуксиз функция ((49) ечими) қурамиз. Ягоналиги ечим қурилиш конструкциясидан аниқ кўриниб турибди.

Ечимларнинг мусбатлиги теоремаси
(t) [t₀, t₀Қ1] да узлуксиз функция бўлиб, (t₀Қ1)>0 да бўлсин. Унда (49)нинг, [t₀, t₀Қ1] да (t) га тенг бўлган, [ t₀, ) да ягона мусбат узлуксиз ечими мавжуд бўлади.
Исбот: Биз (t₀Қ1, t₀Қ2] учун (50)нинг ечимини қуйидагича ёзишимиз мумкин:


. (51)

Ҳар қандай (t)(- , ) учун

бўлгани сабабли ва теорема шартига биноан (t₀Қ1)>0 бўлгани учун, олинган ечим (t₀Қ1, t₀Қ2]да мусбат. Ушбу процедурани кетма-кет такрорлаб, ечимнинг t > t₀Қ1 бўлганда мусбатлигини топамиз.

Шундай қилиб, агар бошланғич функция бирлик кесмада, ўнг чегаравий нуқтада мусбат холда, узлуксиз функция сифатида берилган бўлса, унда (49) ечими ягона, узлуксиз ва мусбат бўлади.
Биологик жараёнларни ифодалайдиган тенглама ечими узлуксиз ошиш хусусиятига эга бўлиши керак эмас, чунки у чекли ҳажмда, чекли ресурслар орқали, чекли вақт оралиғида амалга ошади. (49) чи тенгламанинг шу хусусиятини текшириб кўрамиз. Агар x(t)>>1 бўлса, унда

бажарилиши аниқ кўриниб турибди ва демак (49) ечими узлуксиз катталаша олмайди.

Энди (49) нинг стационар ечимларини таҳлил қиламиз. Улар қийматини х₀ орқали белгилаб ва dх₀/dtқ0 эканлигини ҳисобга олиб, қуйидаги тенгламага келамиз:


.

Кўриниб турибдики, тенгламанинг нолга тенг ечими (х₀₁қ0) ҳамма вақт мавжуд. Нолга тенг бўлмаган стационар ечимлар учун

(52)

Ушбу тенгламанинг график шаклида ифодаланиши (расм 9) нол бўлмаган ечимларнинг мавжуд бўлиши қуйидаги шарт бажарилишига боғликлигини кўрсатади:

.

(52) дан ва расмдан кўриниб турибдики,

. (53)