Ызбекистон Республикаси Олий ва

6.2. Биомеханика оддий дифференциал тенгламаларини
сифатий таҳлил қилиш

Кўпгина биомеханик масалаларда регуляр ечимлар (монотон камаювчи ёки ўсувчи, ўзгармас қийматли, даврий тебранма, тўлқинсимон) билан бир қаторда норегуляр (чекланган фазовий ҳажмда хаотик ҳаракат шаклида - хаос) ечимлар ҳам мавжуд бўлиши мумкин. Баъзи ҳолларда биомеханик тизим фаолиятининг регуляр шаклидан норегуляр шаклига ўтиши организмда касалликнинг бошланишидан далолат беради (масалан, юрак фаолиятида аритмияни бошланиши). Биз норегуляр ечимларни таҳлил қилишни

(42)
тенглама асосида моделлаштиралаётган тизим эволюциясини кўриб чиқиш орқали амалга оширамиз. Бу ерда x(t)қx⁽¹⁾,…,x⁽ⁿ⁾ фазосидаги вектор; F функцияси параметрга боғлиқ бўлиб, параметр қийматининг ўзгариши ҳаракат характери ўзгаришига олиб келиши мумкин. F функциясини тизимнинг вектор майдони деб аташ мумкин. F функцияси вақтга тўғридан тўғри боғлиқ бўлмагани учун, кўрилаётган тизим автоном тизим деб аталади. Биологик тизимлар диссипатив тизимлардир. Улар учун векторининг х-фазосидаги дивергенцияси манфий


(43)

демак ҳаракат вақтида х-фазодаги ҳажм кичраяди. Гамильтон механик тизимлар учун ушбу дивергенция, Луивил теоремасига асосан, нолга тенг ва х векторининг компонентлари сифатида умумлаштирилган координаталари q ва тизим импульси p олинади.

Биз (42)нинг даврий ҳаракат сифатидаги ечимлари турғунлиги ва унинг бузилиши хусусиятларини кўриб чиқамиз. Агар даврий ечимлар синхронлашса, ҳаракат соддалашади. Лекин даврий ечимларнинг ўзаро таъсири ҳаракатни мураккаблаштириши мумкин. Кўпинча, агар даврий ҳаракат турғунлиги бузилса, қўшимча даврий ҳаракат вужудга келади, деб фараз қилинади. Лекин мантиқ нуқтаи назаридан бу шарт эмас. Тезлик тўлқинлари амплитудасининг чеклилиги фақат ҳолат фазоси ҳажмининг чеклилигини таъминлайди. Лекин бу ҳажмда траекториялар қандай кўринишда эканлилиги тўғрисида априори ҳеч нарса деб бўлмайди.

Расм 5. Лимит цикл ҳаракат кўриниши	Расм 6 Тордаги ёпиқ бўлмаган ўрам

Траекториялар лимит цикл (расм 5) ёки тордаги ёпиқ бўлмаган ўрам (даврий ёки квазидаврий ҳаракатларга мос) шаклида (расм 6) бўлиши, аммо баъзи вақтларда бутунлай бошқача – мураккаб ва чигаллашган бўлиши мумкин (расм 7). Шу имконият норегуляр ҳаракат – хаоснинг вужудга келиш механизмларини аниқлашда ва унинг математик табиатини тушунишда жуда муҳим.

Траекториялар фақат кирадиган, лекин чиқмайдиган чекли ҳажм ичидаги мураккаб ва чигал ҳаракатни кўз олдимизга келтиришимиз учун, у ердаги ҳамма траекториялар турғунмас деб фараз қилишимиз керак. Улар орасида фақат нотурғун циклларгина эмас, балки чекли ҳажм ичидан чиқмай чексиз ноаниқ ҳаракат қилиб юрган очиқ траекториялар ҳам бўлиши мумкин. Бу ерда нотурғунлик иккита бир-бирига жуда ҳам яқин ҳолатнинг кейинчалик траекториялар бўйлаб бир-биридан жуда ҳам узоқлашиб кетишини; олдин бир-бирига жуда ҳам яқин нуқталар битта траекторияга тегишли бўлиши мумкинлигини: ҳажм чекли бўлгани учун, ёпиқмас траектория ўз-ўзига жуда ҳам яқин келиши мумкинлигини билдиради. Шундай мураккаб норегуляр ҳаракат хаотик ҳаракат билан мос келади.

a	b