Ixtisoslikdagi

130


3- §. Fazoda to‘g‘ri chiziq va tekislik

Bu paragrafda tekislik va to‘g‘ri chiziq orasidagi munosabatlarga doir asosiy formulalar keltiriladi, misol-masalalar qaraladi.

1°. ~~~ = }’n = -y- to‘g‘ri chiziq bilan Ax + By + Cz + D = 0 tekislik orasidagi o‘tkir burchak
sin
= ^{A m+Bn+Cp (1 )}
'jA 2+B2+C2 -\jm2+n2+p2

formula bilan topiladi.

To‘g ‘ri chiziq va tekislikningparallellik sharti:
Am + Bn + Cp = 0. ⁽²⁾
To‘g ‘ri chiziq va tekislikningperpendikularlik sharti:
A = B_= C_
m n p ' ⁽³⁾
[ Ax+By + Cz+D = 0,
2'. Berilgan . c - + fl| 0 to‘g‘ri chiriqdan o‘tnvchi
tekisliklar dastasining tenglamasi
Ax + By + Cz + D + X(Axx + B}y + Cxz + Dx) = 0 ko‘rinishda bo‘ladi, bu yerda X — ixtiyoriy haqiqiy son.
3°. To‘g‘ri chiziq bilan tekislikning kesishish nuqtasi. To‘g‘ri
chiziqning param etrik tenglam asi x = mt + a, y = nt + b, z - p t + c lami tekislikning umumiy tenglamasidagi x, y, z lar o‘miga qo‘yib, Ax + By + Cz + D = 0 dan /0 ning qiymatini, so‘ngra x0, y0, z0 larni topamiz. Bu esa to ‘g‘ri chiziq bilan tekislikning kesishish nuqtasi bo‘ladi. \
4°. Ikki to‘g‘ri chiziqning bir tekislikda yotish sharti:
a - a{ b - 1 \ c - cx
_{m n P} (5)
^mx «i Pi
131


„ . , \ x +y +z - 4 = 0, . . . . . . ...
1 - misol. \ „ , „ to g n chiziq bilan [2 x - y + 4z + 5 = 0
x + y + 3 z - l = 0 tekislik orasidagi burchakni toping.
To‘g‘ri chiziq tenglamasini kanonik kohinishga keltirmasdan
ham to‘g‘ri chiziq bilan tekislik orasidagi burchakni topish mumkin. Buning uchun to‘g‘ri chiziqning yo‘naltiruvchi kosinuslarini topish yetarli.
To‘g‘ri chiziq tenglamasining koeffsiyentlaridan
' i i n
l2 V
matritsani tuzib, / = 1 desak, 1- § dagi (15) formula yordamida


m = ^{1 1} = 5, n = ^{1 1 1 1 = -3}
-1 4 ^{4 2 = ~2, P = 2 -1}
lami topamiz. Tekislik tenglamasidan = 1, 2?= 1, C = 3 n i topib, ( 1 ) formula yordamida o‘tkir burchakni topamiz:
stntjo = ^-6 = 0,2935,
^{= 17°04'.^} Vn-V38 V4I8
3x +y - 4z + 5 = 0,
2- misol. Af(1; -1 ; 2) nuqtadan va _{x - y + 2 z - l = 0} ^to‘g‘ri
chiziqdan o‘tuvchi tekislik tenglamasini yozing.
Berilgan to ‘g‘ri chiziqdan o'tuvchi tekisliklar dastasining tenglamasi (4) formulaga asosan quyidagicha bo‘ladi:

3 x +y +-4 z + 5+ X(x ~ y + z~ 1) = 0.

Bu tekisliklar dastasidan M ( 1; -1 ; 2) nuqtadan o‘tuvchi tekislikni ajratib olish talab qilinadi. Agar tekislik bu nuqtadan o‘tsa, u holda bu nuqtaning koordinatalari tekislik tenglamasini qanoatlantiradi. Tenglamaga M nuqtaning koordinatalarini qo‘yib, X ning qiymatini topamiz:

132


5A - 1 = 0, A = 1 / 5 .
A ning qiymatini tekislik teglamasiga qo‘yib, ushbu tenglamani topamiz:
8x + 2y - 9z + 12 = 0. ^
3- misol. y + z ^ to ‘g‘ri chiziqdan o ‘tib, [x + 2 y - z + 2 = 0


x —\ _ y+2 _ j-1
i 2 2~
to‘g‘ri chiziqqa parallel bo‘lgan tekislik tenglamasini yozing.
^ Birinchi to ‘g‘ri chiziqdan o ‘tuvchi tekisliklar dastasining tenglamasi
3 x - y + z - 5 + A (x + 2 y - z + 2) = 0
yoki
(3 + X)x + (2A - 1 )y + (1 - X)z - 5 + 2A = 0.
Bu tekisliklar dastasidan ikkinchi to‘g‘ii chiziqqa parallel bo‘lgan tekislik tenglamasini ajratib olamiz, buning uchun to ‘g‘ri chiziq va tekislikning parallellik sharti (2 ) bajarilishi kerak. (*) tenglikdan v4 = 3 + A, B = 2A - 1, C = 1 - A. Ikkinchi t o ‘g ‘ri chiziq tenglamasidan m = - 1, n = 2, p = 2. U holda to‘g‘ri chiziq va tekislikning parallelik shartiga asosan:
(3 + A) •(-1) + (2A —1) - 2 + (2 —A) -2 = 0
yoki
- 3 - A + 4 A - 2 + 2 - 2 A = 0, A = 3.
A ning bu qiymatini (*) ga qo‘yib, 6x + 5y —2z + 1 —0 tenglamani hosil qilamiz. ^


s,


133


Mustaqil bajarish uchun mashqlar
3.1. Xy - = - - | 2 = z'y to‘g‘ri chiziq bilan 2x + y - z + 4 = 0 tckislik orasidagi burcbakni toping.
3.2. 3; = 3x - 1, 2z = -3 x + 2 to‘g‘ri chiziq bilan 2x + y + z - 4 = 0
tekislik orasidagi burchakni toping.
3 .3 . ^ to‘g‘ri chiziq bilan 2 x + y —z —0 tekislik- ning parallelligini, Xj - = - y = -y 3 to ‘g‘ri chiziqning bu
tekislikda yotishini ko‘rsating.
3.4. P(l; 2; -1 ) nuqtadan o'tuvchi va - y - = yy- = y p to ‘g‘ri
chiziqqa perendikular bo‘lgan tekislik tenglamasini yozing.
3.5. (—1; 2; —3) nuqtadan 0 ‘tuvchi va x = 2, y ~ z = 1 to ‘g‘ri
chiziqqa perendikular bo‘lgan tekislik tenglamasini yozing.
jx - 4 y + 5z~ 1 = 0 ,
3.6. P(2; - 4; - 2) nuqtadan o‘tuvchi va j 2x +y + 3 = 0
to ‘g ‘ri chiziqqa perpendikular bo‘lgan tekishk tenglamasini yozing.
3.7. (2; 1; 6 ) nuqtadan o‘tuvchi va x - 4y + 5z = 0 tekislikka
perpendikular bo‘lgan to‘g‘ri chiziq tenglamasini yozing va
uning yo‘naltiruvchi kosinuslarini aniqlang.