Iv-bob. Predikatlar mantiqi

6.1. Matematik mulohazalarni predikatlar mantiqi formulasi ko’rinishida yozish

Quyida asosiy matematik tushunchalar – ta’rif va teoremalarni predikatlar mantiqi tili vositasi bilan qanday ifodalash mumkinligini ko’rib o’tamiz.

Har qanday matematik fan shu fanda qaralayotgan obyektlar haqidagi mulohazalar bilan ish ko’radi. Mantiq va to’plamlar nazariyasining simvollari hamda berilgan fanning maxsus simvollari yordamida shunday mulohazalar predikatlar mantiqining formulasi ko’rinishida ifodalanishi mumkin. Predikatlar mantiqining tili matematik tushunchalar o’rtasidagi munosabatni ifodalashga, ta’rif, teorema va isbotlarni yozishga imkoniyat yaratadi. Bu yozishlarni misollarda ko’raylik.
1.Sonlar ketma-ketligi limitining ta’rifi.
Sonlar ketma-ketligi limitining ta’rifini quyidagicha yozish mumkin:

Bu yerda uch joyli predikat : foydalanilgan.
2.Funksiyaning nuqtadagi limitining ta’rifi.
Bu ta’rifni ushbu shaklda yozish mumkin:
Bu yerda : uch joyli predikat foydalanilgan.
3.Funksiyaning nuqtadagi uzluksizligi ta’rifi.
to’plamda aniqlangan funksiya nuqtada uzluksiz deb aytiladi, qachon bo’lsa.
Bu yerda ham uch joyli predikatdan foydalanildi.
4.Œsuvchi funksiyaning ta’rifi.
to’plamda aniqlangan funksiya bu to’plamda o’suvchi funksiya bo’ladi, agar bo’lsa.
Bu yerda : ikki joyli predikatdan foydalanilgan.
5.Chegaralangan funksiyaning ta’rifi.
Aniqlanish sohasi bo’lgan funksiya bu sohada chegaralangan bo’ladi, agar bo’lsa.
Bu yerda ham : ikki joyli predikatdan foydalanilgan.
Ma’lumki, matematikada ko’p teoremalar shartli mulohazalar shaklida yoziladi, ya’ni «Agar bo’lsa, u holda bo’ladi» tarzida ifodalanadi. Masalan, «Agar nuqta burchak bissektrisasida yotgan bo’lsa, u holda u burchak tomonlaridan teng uzoqlashgan (masofada) bo’ladi». Bu teoremaning sharti «Nuqta burchak bissektrisasida yotgan» va xulosasi «Nuqta burchak tomonlaridan teng uzoqlashgan» jumlalardan iborat. Ko’rinib turibdiki, teoremaning sharti ham, xulosasi ham to’plamda aniqlangan predikatni ifodalaydi. Bu predikatlarni uchun mos ravishda va lar bilan belgilab, teoremani quyidagicha yozish mumkin:
.
Shu sababli, teoremaning tuzilishi (strukturasi) haqida gapirganda, unda uchta qismni ajratish kerak: 1) teorema sharti: to’plamda aniqlangan predikat; 2) teorema xulosasi: to’plamda aniqlangan predikat; 3) tushuntirish qismi: bu yerda teoremada gap yuritilayotgan obyektlar to’plamini ifodalash kerak.