Iv-bob. Predikatlar mantiqi

6.4. Yetarli va zaruriy shartlar

Quyidagi teoremani ko’raylik

. (5)
predikatning chinlik to’plami to’plamdan iborat bo’ladi. Demak, bu predikatning yolg’onlik to’plami to’plamdan iborat. Oxirgi to’plam faqat bo’lgandagina bo’sh to’plam bo’ladi.
Shunday qilib, predikat ning hamma qiymatlarida predikatning chinlik to’plami predikat chinlik to’plamining qism to’plami, ya’ni bo’lganda, shunda va faqat shundagina chin bo’ladi. Bu holda predikat predikatdan mantiqiy kelib chiqadi deb aytiladi. predikatga predikat uchun zaruriy shart va ga uchun yetarli shart deb aytamiz. Masalan, ushbu «Agar natural son bo’lsa, u holda butun son bo’ladi» teoremada : « -butun son» predikati : « -natural son» predikatidan mantiqiy kelib chiqadi va « -natural son» predikati « -butun son» predikati uchun yetarli shart bo’ladi.
Shunday hollar mavjudki, bularda
(6)
va
(7)
o’zaro teskari teoremalar chin bo’ladilar.
Bu hol faqat , ya’ni qachonki va predikatlar tengkuchli predikatlar bo’lgandagina mumkin.
Qaralayotgan holda (1) teoremaga asosan predikat predikat uchun yetarli shart va (2) teoremadan predikat predikat uchun zaruriy shart ekanligi kelib chiqadi.
Demak, agar (1) va (2) teoremalar chin bo’lsa, u holda shart uchun ham yetarli, ham zaruriy shart bo’ladi. Xuddi shunday bu holatda shart uchun yetarli va zaruriy shart bo’ladi.
Biz ayrim vaqtlarda «zarur va yetarli» mantiqiy bog’lovchi o’rniga «shunda va faqat shunda» mantiqiy bog’lovchini ishlatamiz.
Bu yerda (1) va (2) mulohazalar chin bo’lganligi uchun quyidagi mulohaza ham chin bo’ladi:
.
1-misol. Ushbu teorema: «Agar soni 6 ga bo’linsa, u holda soni 3 ga bo’linadi» chindir. Bu yerda predikat : « soni 6 ga bo’linadi» va predikati : « soni 3 ga bo’linadi». predikati predikatidan mantiqiy kelib chiqadi, ya’ni . predikati ( soni 6 ga bo’linadi) predikati ( soni 3 ga bo’linadi) uchun yetarli shartdir. predikati predikati uchun zaruriy shartdir. Shu vaqtning o’zida teskari teorema : «Agar soni 3 ga bo’linsa, u holda soni 6 ga bo’linadi» noto’g’ridir (yolg’ondir). Shuning uchun ham : « soni 3 ga bo’linadi» predikati : « soni 6 ga bo’linadi» predikat uchun yetarli shart va : « soni 6 ga bo’linadi» predikati : « soni 3 ga bo’linadi» predikatiga zaruriy shart bo’laolmaydi.