|
Определение. Произведением целых неотрицательных чисел a и b называется такое целое неотрицательное число a·b, которое удовлетворяет следующими условиями:
1) a·b=a+a+…+a при b>1;
Слагаемое b
2) a·1=a при b=1;
3) a·0=0 при b=0/
Теоретико- множественный смысл этого определения следующий. Если множества А1,А2,…, Аb имеют по a элементов каждое и никакие два из них не пересекаются, то их объединение содержит a·b элементов. Следовательно, произведение a·b - это число элементов в объединении b попарно непересекающихся множеств, каждое из которых содержит по aэлементов. Равенства a·1=a и a·0=0 принимаются по условию.
Действие, при помощи которого находят произведение чисел a и b, называют умножением ; числа которые умножают, называют множителями.
Произведение любых целых неотрицательных чисел существует, и оно единственно.
С данным определением учащиеся знакомятся в нач. классах. Смысл его раскрывается при решении простых задач. Например:На каждое детское пальто нужно пришить 4 пуговицы. Сколько пуговиц нужно пришить на 6 таких пальто?
Почему она решается при помощи умножения? Потому что в ней требуется найти число элементов в объединении, состоящем из 6 множеств, в каждом из которых по 4 элемента. Согласно определению это число находится умножением: 4·6= 24 (пуговицы).
Имеется и другое определение произведения целых неотрицательных чисел. Оно связано с декартовым произведением множеств.
Пусть даны два множества: A= (x,y, z) и В= (n, t, r, s) .Найдём их декартово произведение, которое запишем в виде прямоугольной таблицы.
(X,n), (x,t ), ( x,r) , ( x,s),
(y,n ), ( y,t), (y,r) , (y,s),
(Z,n), (z,t), (z,r), (z,s).
В каждой строке таблицы все пары имеют одинаковую первую компоненту, а в каждом столбце одинаковая вторая компонента. При этом никакие две строки не имеют хотя бы одной одинаковой пары. Отсюда следует, что число элементов в декартовом произведении A×B равно 3+3+3+3=12. Видим, что число элементов в декартовом произведении данных множеств A и B равно произведению n(A)∙n(B)
Вообще если A и B- конечные множества, то n(A B)=n(A) n(B).
Таким образом, произведение целых неотрицательных чисел a и b можно рассматривать как число элементов декартова произведения множества A и B, где n(A)=a,n(B)=b:
a∙b=n(A B) , где n(A)=a,n (B)=b.
Закон умножения
Переместительный закон: для любых целых неотрицательных чисел a и b справедливо равенство a ∙b=b∙a.
Пусть a=n(B). Тогда по определению произведения a∙b=n(A B). Но множества A×B и B A равномощны: каждой пареa ,b из множества A×B можно поставить в соответствие единственную пару (b,a) из множества B×A, и наоборот. Значит, n(A×B)=n (B×A), ипоэтомуa∙b=n(A×B)=n (B×A)=b∙a.
Сочетательный закон: для любых целых неотрицательных чисел a,b,с справедливо равенство (a∙b)∙c=a∙(b∙c).
Распределительный закон умножения относительно сложения: для любых целых неотрицательных чиселa,b,с справедливо равенство (a+b)∙c=ac∙+bc.
Распределительный закон умножения относительно вычитания: : для любых целых неотрицательных чисел a,b и с и a≥b справедливо равенство (a-b)c=ac-bc.
В аксиоматической теории деление определяется как операция, обратная
умножению, поэтому между делением
и умножением устанавливается тесная взаимосвязь. Если а× b = с, то, знаяпроизведение с и один из множителей, можно при помощи деления найти другой множитель.
Выясним теоретико-множественный смысл полученных частных с : b и с : а.
Произведение а × b = с с теоретико-множественной точки зрения представляет собой число элементов в объединении b попарно непересекающихся множеств, в каждом из которых содержится аэлементов, т.е.
а× b = n(А₁È А₂È ... ÈАb), где n(А₁) = n(А₂)=…= n(Аb). Так как множества попарно не пересекаются, а при их объединении получается множество - назовем его А, - в котором с элементов, то можно говорить о разбиении множества А на равночисленные подмножества А₁, А₂, ..., Аb. Тогда частное с: а - это число подмножеств в разбиении множества А, а частное с :b - число элементов в каждом подмножестве этого разбиения.
Мы установили, что с теоретико-множественной точки зрения деление чисел оказывается связанным с разбиением конечного множества на равночисленные попарно непересекающиеся подмножества и с его помощью решаются две задачи: отыскание числа элементов в каждом подмножестве разбиения (деление на равные части) и отыскание числа таких подмножеств (деление по содержанию).
Таким образом, если а = п(А) и множество А разбито на попарно непересекающиеся равночисленные подмножества и если:
Do'stlaringiz bilan baham: |
