Множества. Декартовые произведения. Множества задаются различными способами

1-ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ.

МНОЖЕСТВО И ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ. BULEAN

МНОЖЕСТВА. ДЕКАРТОВЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ.
Множества задаются различными способами:

1. 
   С помощью перечисления всех его элементов, например,
   {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
   
2. 
   Алгоритмическая форма (в виде последовательности или
   формул):
   

а) конечное
М={2;4;6;8} <=> М={т | 2n; n - целое; 1<=n<=4};
б) бесконечное
А={х| |х—1|<3}.


Пример. Описать перечислением элементов множество
A= {x Z | (x -3)(x² -1)= 0 и x > 0}.
Решение.
A есть множество всех целых неотрицательных корней уравнения
(x - 3)(x² -1)= 0. Следовательно, A = {1,3}.


Пример 1. В цехе предприятия работают 15 человек, из них 5 человек имеют дипломы наладчиков станков с ЧПУ, 10 имеют дипломы слесарей и 6 - фрезеровщиков (III), 2 человека имеют одновременно дипломы наладчиков станков с ЧПУ и слесарей, 3 человека имеют дипломы наладчика станков с ЧПУ и фрезеровщика, 2 человека имеют дипломы слесаря и фрезеровщика и 1 человек имеет все три вида дипломов. Сколько работников цеха не имеют ни одного вида из этих трех дипломов? Сколько работников цеха имеют ровно по два диплома? Сколько работников цеха имеют только один из дипломов?
Решение. Введем обозначения: А - множество человек с дипломами наладчиков станков с ЧПУ, В - множество человек с дипломами слесарей и С - множество человек с дипломами фрезеровщика. Удобно представить задачу в виде следующей диаграммы (рис. 1).

Мощность множества работников цеха U=15.
Мощность объединения пар множеств |A u B| =5+10-2=13, |A u C | =5+6-3=8, |B u C|=10+6-2=14.
Число работников цеха, не имеющих ни одного вида из этих трех дипломов, определяется как U(A u B u C)\= =15-5-10-6+2+3+2-1=0.
Число работников цеха, имеющих ровно по два диплома:
AB+AC+B C–3AB C=2+3+2–3=4.
Один диплом наладчика станков с ЧПУ имеют
|A|-|A B|-|AC|+|A B C|=5-2-3+1=1 работник.
Один диплом слесаря имеют
|B| -|A  B| - |B  C|+1A  B  C|=10-2-2+1 =7 человек.
Один диплом фрезеровщика имеют
|C| -1A  C| - |B  C|+1A  B  C| =6-3-2+1=2 работника.
Итого, 1 диплом имеют 1+7+2= 10 человек.
Основные тождества алгебры множеств


Независимость расположения:
A B = B A,
A B = B A.
Ассоциативность:
A B C= A BC,
A B C= A BC.
Дистрибутивность:
AB C= ABAC,
A B C= A BA C,
AA=U,
AA= 0,
A 0 = A,
A  0 = A,
A A = A,
A U = U
Законы де Моргана
A B = A B,
A B = A B.


Мощность множества
Пусть А₁, A₂, ..., A_n - конечные множества и |A_i | = m_i, тогда мощность множества A₁  A₂ ...A_n равна произведению мощностей m₁  m₂  …… m_n.


Упражнения.

1. 
   Какие из приведенных ниже соотношений неверны и почему?
   

а) ,
б) ,
в) ,
г) ,
д) ,
е) ,
ж) ,
з) .

2. 
   Какие из приведенных ниже соотношений неверны и почему?
   

а) Ø Ø,
б) Ø Ø,
в) Ø Ø,
г) Ø , где – произвольное множество,
д) Ø , где – произвольное множество.
3. Перечислите элементы множества .
4. Опишите множества при помощи общего свойства всех его элементов :
а) ,
б) ,
в) ,
г) ,
д) .
5. Укажите, какие из перечисленных множеств конечные, бесконечные, пустые. Указанные множества задать перечислением всех своих элементов, если возможно.
а) ,
б) ,
в) ,
г) ,
д) ,
е) ,
ж) .
6. Изобразите на координатной плоскости следующие множества:
а) ,
б) ,
в) .
7. Равны ли между собой множества и ? Если нет, то почему.
а) , ,
б) , ,
в) , ,
г) , ,
д) , .
8. Найдите все подмножества множества .
9. Связаны ли множества и отношением включения? Если да, то укажите, какое из них является подмножеством другого.
а) , ,
б) , ,
в) , .
10. Определить количество элементов в каждом множестве:
а) {Ø, {Ø}},
б) {{Ø, {Ø}}},
в) {1, 2, 3, {1, 2, 3}},
г) {Ø, {Ø}, a, b, {a, b}, {a, b, {a, b}}},
д) {Ø, {Ø}, {Ø, {Ø}}}.
11. Даны следующие множества:
– множество всех четырехугольников;
– множество всех параллелограммов;
– множество всех прямоугольников;
– множество всех ромбов;
– множество всех квадратов;
– множество всех ромбов с прямыми углами.
Какие из этих множеств равны между собой? Какие из них являются подмножествами других?
12. Запишите булеан множества :
а) Ø,
б) ,
в) .
14. Приняв множество первых 20 натуральных чисел в качестве универсального, запишите следующие его подмножества:
– чётных чисел,
– нечётных чисел,
– квадратов чисел,
– простых чисел.
В каких отношениях находятся эти подмножества?

1. 
   Задать множество перечислением всех его элементов А = {х R | x³ -Зх² +2х = 0}.
   
2. 
   Задать множество перечислением всех его элементов А = {х R | x -1/х ≤ 2 и х > 0}.
   
3. 
   Задать множество перечислением всех его элементов А = { х N | х²- Зх-4 < 0}.
   
4. 
   Задать множество перечислением всех его элементов А = { х Z | 1/4 ≤ 2х .
   
5. 
   Множество А ={ 1, 2, 5, 7, 8), B ={2,6, 9}. Найдите объеди­нение, пересечение и разности множеств.
   
6. 
   Множество А = {a, b, c, d, e), B = {p, q, r, s). Найдите объ­единение, пересечение и разности множеств.
   
7. 
   В группе 35 студентов, из них 21 знают английский, 15 знают немецкий, 8 знают и английский, и немецкий. Найдите объ­единение, пересечение и разности множеств.
   
8. 
   Имеются 3 множества: А = {1, 2, 3), В = {а, d}, С = {A, B, С, D). Найти мощность множества прямого произведе­ния А  В  С.
   
9. 
   Найдите элементы множества А - В, если А =(3, 4, 6, 7}; В ={6, 7,8}.
   
10. 
    Найдите элементы множества А и В, если А - В = {2, 4, 5}; B={6, 7,8}.
    
11. 
    Найдите элементы множеств А и В. Если А  В = {(b, m), (с, m), (е, m), (b, n), (с, n), (e, n)}.
    

Задания для самостоятельной работы

1. 
   Для каких из следующих пар множеств имеет место одно из соотношений: , , :
   

а) , ;
б) , ;
в) , , ?
2. Укажите, какие из перечисленных множеств конечные, бесконечные, пустые. Указанные множества задать перечислением всех своих элементов (если возможно).
а) ,
б) ,
в) ,
г) ,
д) ,
е) .
3. Изобразите на координатной плоскости следующие множества:
а) ,
б) ,
в) ,
г) .
4. Даны множества , , , . Запишите перечислением элементов множества:
а) , б) , в) ,
г) , д) .
2. Изобразить с помощью диаграмм Эйлера-Венна множества:
а) и ; б) , и ; в) , и ; г) , и .
3. Пусть , , . Из каких элементов состоят множества:
а) ; б) ; в) .
5. Пусть , . Найти множество такое, что .
6. Решить систему уравнений
а) .
б) .

7. Запишите все подмножества данного множества и постройте множество всех его подмножеств:

а) ,
б) a, b,
в) 1, 2, 3, 4.
8. Найдите , , , при:
а) , ,
б) , ,
в) , ,
г) , ,
д) , .
9. Пусть – множество решений уравнения , – множество решений уравнения . Выразите через и множество решений:
а) уравнения ,
б) уравнения ,
в) системы уравнений
10. Как можно выразить множество действительных корней уравнения , если известны множества и ?
11. Какие из следующих высказываний истинны для произвольных множеств и :
а) если , то или ,
б) если или , то ,
в) если и , то ,
г) если , то и ?
12. С помощью диаграмм Эйлера–Венна исследуйте вопрос о справедливости каждого из следующих рассуждений:
а) Если , и такие подмножества универсума , что и , то Ø.
б) Если , и такие подмножества универсума , что и , то Ø.
13. Найти множества и , если:
а) , , ,
б) , , ,
в) , , .
14. Каким условиям должны удовлетворять множества и , чтобы:
а) ,
б) ,
в) .
15. Докажите, что для произвольных множеств , и С и универсального множества справедливы следующие равенства:
а) ,
б) ,
в) ,
г) ,
д) ,
е)
ж) ,
з) .

16. Из 100 студентов 24 не изучают никакого языка, 26  немецкий, 48  французский, 8  французский и английский, 8  французский и немецкий, 18  только немецкий, 23  немецкий, но не английский. Сколько студентов изучают английский язык?

17. Одному человеку задали вопрос: «Какая погода была в одном из летних месяцев?». Ответ: «80% дней были теплыми, 80% дней были облачными и 60% дней были ветреными». Сколько процентов составляют дни, когда было тепло, облачно и ветрено одновременно? (Найти наибольшее и наименьшее их число.)
18. В отчёте об опросе 100 студентов сообщалось, что количество студентов, изучающих различные иностранные языки таково: все три языка – 5, немецкий и испанский – 10, французский и испанский – 8, немецкий и французский – 20, испанский – 30, немецкий – 23, французский – 50. Инспектор, представивший этот отчёт, был уволен. Почему?