Issn 2181-9580 toshkent davlat pedagogika universiteti ilmiy axborotlari ilmiy-nazariy jurnali

 
 
2.
 
Yig‘indilarni hisoblashda Al-Karaji usuli 
 
Bizga ma’lumki, yig‘indilarni hisoblashni turli usullari mavjud.Ulardan biri 
Al-Karaji 
usulini
bilan tanishib chiqamiz. Dastlab bu usulni yaxshiroq tasavvur hosil qilishimiz uchun 
soddaroq yig‘indini hisoblashdan boshlaymiz. 
1-misol. 
1
1
1 2 3 ...
n
n
k
S
k
n


    

ni hisoblang. 
Ushu yig‘indini to‘g‘ri to‘rtburchak usuli bilan ham keltirib chiqaramiz. Bu yig‘indini 
hisoblashda bo‘yi va eni 
n
ta ustun va satrdan iborat 
n n

o‘lchamli (1-rasm) kvadratni olamiz. 
Ravshanki, kvadratning ichida satrlar va ustunlarning kesishishidan mayda kvadratchalar 
hosil bo‘ladi. Bunda jami kavadratchalar soni
2
n n
n
 
ga teng. 
Endi kvadratning bo‘yining yuqori qismidan bitta satrni, enining o‘ng qismidan ham 
bitta ustunni ajratib olamiz (2-rasm) va hosil bo‘lgan sohaning ichidagi barcha kvadratchalar 
sonini hisoblaymiz. 
1 2
1
n n
n
  

Demak, birinchi sohamizda 
2
1
n

ta kvadratcha mavjud ekan. 
Shu ko‘rinishda kvadratning qolgan qismidan yana shunday soha ajratib olib (2-rasm), 
undagi kvadratchalar sonini hisoblaymiz. 
(
1) (
1) 1
2(
1) 1
n
n
n
    
 
. 
Shu ishni oxirigacha davom ettirib, olingan natijalarni yozib olamiz. Shu o‘rinda aytish 
kerakki, har safar ajratib olayotgan sohalarimizni al-Karaji gnomonlar deb atagan. 
2
1
n

2(
1) 1
n
 
……. 
103

---

TOSHKENT DAVLAT PEDAGOGIKA UNIVERSITETI
 
ILMIY AXBOROTLARI 2020/5 
2 1 1
 
Bu qiymatlarning barchasini yig‘indisi 1-rasmdagi kvadratning ichidagi jami 
kvadratchalar soniga teng. 
2
2
2(
1) ... 2 1
n
n
n n

     
2
2(1 2 ...
)
n
n n
    
(
1)
1 2 ...
2
n n
n

   
Demak, 
1
1
(
1)
2
n
n
k
n n
S
k





.