Issn 2181-9580 toshkent davlat pedagogika universiteti ilmiy axborotlari ilmiy-nazariy jurnali

1.
 
Izlanish metodologiyasi 
Al-Karajiy darajali ifodalar algebrasini bosqichma-bosqich o‘rganib chiqdi va 
2
3
, , ,
x x x

ketma-ketligini va teskarisini 
2
3
1
1
1
, 
,
,
x
x
x

cheksiz ravishda uzaytirish mumkinligini birinchi 
bo‘lib tushundi. Ammo u tushunchalarni faqat so‘zlar bilan ifodalagan. Masalan, unda 
kvadrat va kubning ko‘paytmasi sonlar bilan ifodalanmaydi, balki so‘zlar bilan ifodalanadi. 
Sababi kvadrat va kub kabi raqamli ko‘rsatkichlarni qo‘shish u vaqtda aniq emas edi. 
Al-Karaji binom koeffitsientlarining birinchi formulasini va Paskal uchburchagining 
birinchi tavsifini berdi. U shu ko‘rinishda Binomial teoremani kashf etgan. Al-Karaji 
tomonidan ilgari surilgan va al-Samav'al tomonidan davom ettirilgan yana bir muhim g‘oya 
bu ba'zi arifmetik ketma-ketliklarni yechish uchun induksiya usuli bo‘lgan. Shunday qilib, al-
Karaji allaqachon ma'lum bo‘lgan natural sonlarning kublarining yig‘indisi natijasini shu usul 
bo‘yicha isbotlash uchun ishlatgan, ammo al-Karaji ixtiyoriy n uchun umumiy natijani 
aytmagan. U o‘zining teoremasini ma'lum bir butun son 
10
n

uchun aytdi. Ammo uning 
isboti boshqa har qanday butun sonlar uchun kengaytirilishi zarur edi. Al-Karajning qo‘llagan 
induksiya yo‘li zamonaviy induksiyaning ikkita asosiy tarkibiy qismini o‘z ichiga oladi, ya'ni 


3
1 1 1
n


tasdiqning rostligi va 
n
k

uchun rost bo‘lgan mulohazani 
1
n
k
 
uchun o‘rinli 
ekanini ko‘rsatish. Albatta, bu ikkinchi tarkibiy qism aniq emas, chunki al-Karajning 
induksiyasi qaysidir ma'noda teskari yo‘nalishda, u 
10
n

bilan boshlanadi va 
1
n

ga 
tushadi va boshlanmaydi. Biroq, uning al-Faxriyadagi argumentning kublar uchun qo‘shish 
formulasi o‘z ichiga olgan manbadir. 
102

---

TOSHKENT DAVLAT PEDAGOGIKA UNIVERSITETI
 
ILMIY AXBOROTLARI 2020/5 
Al-Karaji nafaqat kvadratga, balki kub ildizlariga ham, yig‘indi va ayirmani kubining 
formulasidan foydalanib ishlaydi. U arifmetik progressiyaning yig‘indisini, shuningdek, 
ketma-ket sonlar kvadratlari va kublarining yig‘indisini aniqlash qoidalarini beradi. Al-Karaji 
sonlarning kvadratlari yig‘indisi uchun to‘g‘ri formulani keltiradi, ammo uning to‘g‘riligini 
isbotlay olmasligini aytadi. Sonlarning kublarining yig‘indisi uchun esa u geometrik isbot 
keltiradi. Al-Karaji o‘z ishida binom koeffitsientlari jadvalini, ularning qo‘shilish hosil bo‘lish 
prinsipi va binomial formulani keltiradi.