|
Annotation.
In the present manuscript initial-boundary value problem for third
ordercomposite type equation in unbounded rectangular three dimensional domain. Uniquiness
of the solution is proven by the method of energy integrals. The considered problem is reduced
to the equalient system of second kind Fredholm integral equations. The solvability of the
obtained system of integral equations are investigated.
Keywords.
Third order PDE, boundary value problem, method of energy integrals, method
of potentials, initial condition, boundary condition, integral equation.
272
TOSHKENT DAVLAT PEDAGOGIKA UNIVERSITETI ILMIY AXBOROTLARI
2020/2
В данной работе рассматривается нестационарное уравнение третьего порядка
составного типа
( )
0
xxx
yyy
t
L u
u
u
u
(1)
в области
0
1,
0, 0
x
y
t T
с краевыми условиями
0
( , ,0) 0, ( , )
u x y
x y
(2)
1
(0, , )
( , ),
u
y t
y t
2
2
(0, , )
( , ), ( , )
x
u
y t
y t
y t
(3)
3
4
1
2
1
(1, , )
( , ), ( , )
( ,0, )
( , ),
( ,0, )
( , ), ( , )
y
u
y t
y t
y t
u x
t
x t u x
t
x t
x t
(4)
lim ( , , )
0
y
u x y t
где
0
( , , ) :0
1,
0,
0
x y t
x
y
t
,
1
( , , ) :0
1,
0,0
x y t
x
y
t T
,
2
( , , ) :
0,
0,0
x y t x
y
t T
,
3
( , , ) :0
1,
0,
x y t
x
y
t T
,
4
( , , ) :
1,
0,0
x y t x
y
t T
здесь
0,1
1
,
2
2
1
3
4
0,1
0,1
1
,
1
2
,
1
( , )
(
),
( , )
(
),
( , )
(
),
( , )
(
),
( , )
(
)
y t
x t
x t
y t
C
x t
C
y t
C
x t
C
x t
C
(5)
Теорема1.
Задача (1)-(4) не имеет более одного регулярного решения.
Доказательство.
Допустим, что существует два решение задачи (1)-(4).
Тогда обозначая,
1
2
( , , )
( , , )
( , , )
v x y t
u x y t
u x y t
относительно функции
( , , )
v x y t
имеем однородную краевую задачу.
Рассмотрим тождество
1 0
0
0
( ) ( , , )
0
T
kt
L v v x y t e dxdydt
(6)
Интегрируя тождество (6) по частям будем иметь
(1, , )
lim
( , , )
( , , )
0
x
y
x
y
v
y t
v x y t
v x y T
(7)
Вводим обозначения
v( , , )
( , , ) ,
kt
x y t
v x y t e
0
k
. Тогда интегрируя по частям
тождество
1 0
0
0
(
) v
0
T
L v
kv
dxdydt
(8)
Получим
1 0
2
0
0
( , , )
0
T
kt
v
x y t e dxdydt
(9)
Отсюда
v( , , )
0
x y t
. Следовательно,
0
v
в
Теорема доказано.
Фундаментальные решение уравнения (1) представляется в следующем виде
(см.[2])
273
TOSHKENT DAVLAT PEDAGOGIKA UNIVERSITETI ILMIY AXBOROTLARI
2020/2
0
2
1
1
3
3
3
1
(
,
,
)
,
(
)
(
)
(
)
,
,
,
x
y
U x
y
t
f
f
t
t
t
x
y
t
1
2
1
1
3
3
3
1
(
,
,
)
,
(
)
(
)
(
)
,
,
,
x
y
U x
y
t
f
t
t
t
x
y
t
2
2
1
1
3
3
3
1
(
,
,
)
,
(
)
(
)
(
)
,
,
,
x
y
U x
y
t
f
t
t
t
x
y
t
3
2
1
1
3
3
3
1
(
,
,
)
,
(
)
(
)
(
)
,
,
.
x
y
U x
y
t
t
t
t
x
y
t
Здесь функции
( )
f z
и
( )
z
являются решениями уравнения
1
3
( )
( ) 0,
,
3
(
)
z
x
p z
p z
z
t
(10)
которыеимеютвид
3
0
( )
(
)
,
,
f z
cos
z d
z
3
3
0
( )
(exp(
) sin(
))
, 0
.
z
z
z d
z
Теорема 2.
Если выполняется условия (5), то задача (1)-(4) имеет решение из класса
3,3,1
2,2,0
, ,
, ,
( )
( )
x y t
x y t
C
C
.
Приведем схему доказательство теоремы. Решение задачи (1)-(4) ищем в виде
1
1
0
1
0
2
0 0
0 0
1
0
2
3
0
1
0 0
0
0
0
2
0
( , , )
( , , ;0, , ) ( , )
( , , ;1, , )
( , )
( , , ;0, , )
( , )
( , , ; ,0, ) ( , )
( , , ; ,0, )
( , )
.
t
t
t
t
t
u x y t
U x y t
d d
U x y t
d d
U
x y t
d d
U
x y t
d d
U
x y t
d d
Ясно, что это решение удовлетворяет уравнению (1) и начальному условию (2).
Удовлетворяя граничным условиям (3)-(4) имеем
274
TOSHKENT DAVLAT PEDAGOGIKA UNIVERSITETI ILMIY AXBOROTLARI
2020/2
1
1
1
2
1
0 0
3
3
1
2
2
1
1
0 0
3
3
3
1
3
1
0 0
3
1
1
1
3
3
( , )
( , )
(0, , )
0
( , )
1
( , )
0
( , )
t
t
t
y
y t
u
y t
f
f
d d
t
t
y
f
f
d d
t
t
t
y
f
d d
t
t
y
f
f
t
t
t
0
0
t
d d
(11)
1
1
2
1
0 0
3
1
2
1
1
0 0
3
3
1
3
4
1
0 0
3
3
1
4
1
1
3
3
3
( , )
( , )
(0, , )
0
( , )
1
( , )
0
( , )
t
x
t
t
y
y t
u
y t
f
f
d d
t
t
y
f
f
d d
t
t
t
y
f
d d
t
t
y
f
f
t
t
t
0
0
t
d d
(12)
1
1
3
2
1
1
0 0
3
3
3
1
2
2
1
0 0
3
3
1
3
1
1
0 0
3
3
1
1
3
( , )
1
( , )
(1, , )
( , )
0
( , )
1
( , )
1
t
t
t
y
y t
u
y t
f
f
d d
t
t
t
y
f
f
d d
t
t
y
f
d d
t
t
t
f
f
t
t
0
1
0
3
.
t
y
d d
t
(13)
275
Do'stlaringiz bilan baham: |
