|
Критерий Манна — Уитни. Этот критерий приме-
няется тогда, когда необходимо сравнить две незави-
симые выборки метрических или порядковых данных,
распределения которых непрерывны, но являются
неизвестными.
Пусть даны две выборки: Х\,
объемом т и
Уп объемом п. Распределение случайной вели-
чины X равняется F(x), а случайной величины Y — G(y).
Из непрерывности случайных величин с вероятностью
1 следует, что в их выборках нет повторяющихся чи-
сел. Встречающиеся на практике совпадающие значе-
ния элементов выборок являются результатом ограни-
ченной точности измерения.
Необходимо проверить нулевую гипотезу
F = G.
В качестве альтернативной гипотезы
может высту-
пать одно из трех предположений.
Во-первых, F>G
альтернатива.
F>G означает, что для любого z выполняется: F(z)>G(z),
т. е. для любого z справедливо: P(XP(Yчает, что случайная величина X имеет тенденцию при-
нимать меньшие значения по сравнению со случайной
величиной
т. е. Xстрого, Р(х<у)>0,5.
Во-вторых, FFт. е. для любого z справедливо: P(Xначает, что случайная величина X имеет тенденцию
166 принимать большие значения по сравнению со случай-
Математические методы в психологии
ной величиной Y, т. е. X>Y, или, что то же самое, но
более строго, Р(х>у)>0,5.
В-третьих, F G — двусторонняя альтернатива. Это
объединение требований FG.
Для проверки
рассчитывается статистика
Манна—Уитни:
Другими словами, рассматриваются всевозможные
пары
с
и подсчитывается количество тех парных
сочетаний, где
Минимальное значение статистики Манна — Уит-
ни U
min
= 0, максимальное значение U
max
= mn, среднее
значение U
med
= mn/2. Очевидно, если U не сильно
отклоняется от своего среднего значения/подтвержда-
ется
Если U ближе к 0, подтверждается левосторон-
-няя альтернатива, если U ближе к mn, подтверждается
правосторонняя альтернатива. Значимость отклонения
статистики U от своего среднего значения в ту или иную
сторону можно оценить, зная ее распределение.
Распределение статистики U не зависит от распре-
делений F и G. Оно определяется лишь значениями m
и п. Для этого распределения составлены таблицы
(Ликеш И., Ляга Й., 1985, с. 284).
Для отклонения
против левосторонней альтер-
нативы (X>Y) на уровне значимости а критические
значения U должны быть неправдоподобно маленьки-
ми, т. е. они должны удовлетворять соотношению:
где
— граница левой критичес-
кой области. Эта граница равняется квантили распре-
деления статистики Манна — Уитни уровня а. Значение
отыскивается по таблице распределения стати-
стики Манна —Уитнй (Ликеш И., ЛягаЙ., 1985, с. 284)
для выбранного а и заданных тип. Если вычисленная
Глава 4
по формуле (3.4.1.1) величина статистики
при-
знается справедливость левосторонней альтернативы.
Для отклонения
против правосторонней аль-
тернативы (Xкие значения U должны быть неправдоподобно
шими, т. е. они должны удовлетворять соотношению:
m, n граница правой кри-
тической области, она равняется квантили распреде-
ления статистики Манна — Уитни уровня
Значе-
ние
это соотношение вытекает
из симметричности распределения статистики U от-
носительно mn/2. Если вычисленная по формуле
(3.4.1.1) величина статистики
признается
справедливость правосторонней альтернативы.
Для отклонения
против двусторонней альтер-
уровне значимости а критические значения
статистики U должны удовлетворять соотношению:
или
Если вы-
численная
формуле (3.4.1.1) величина статистики
или
m, n =
отвер-
гается и признается справедливость двусторонней
альтернативы.
Выше отмечалось, что в силу непрерывности рас-
пределений и G в выборках х и у не должно быть
совпадающих значений. Однако из-за неточности из-
мерений в выборках могут наблюдаться совпадения
значений. Совпадающие значения обычно исключают-
ся из выборок при расчетах. Чем этих совпадений будет
больше, тем менее достоверными будут
Поэто-
му при большом количестве совпадений критерием
Манна —Уитни лучше не пользоваться.
Пример. Проверялась гипотеза о том, что про-
смотр агрессивных по содержанию фильмов влияет
на агрессивность поведения дошкольников. Одной
группе детей (А) показали мультфильм с большим
количеством агрессивных сцен (например, «Сейлор-
мун — Луна в матроске»). Другой группе (В) показа-
ли мультфильм, совсем не содержащий агрессивных
сцен (например, «Ежик в тумане»). Затем каждому
ребенку из обеих групп дали возможность поиграть
в течение часа отдельно от других детей с игрушка-
108 ми. Группа опытных экспертов фиксировала агрес-
Do'stlaringiz bilan baham: |
