Исследование устойчивости и стабилизация движения транспортных средств. Двухколесный велосипед

Модель движения переднего и заднего колес. Динамические уравнения Эйлера. В работе [5] рекомендуется составлять уравнения движения робота на основе уравнений Лагранжа II - го рода для неголономной системы. Однако, если строить приближенные модели, то предпочтительней использовать динамические уравнения Эйлера, т.к. в этом случае достаточно модели первого приближения. Если использовать уравнения Лагранжа II - го рода, то необходимо строить модель с точностью до малых второго порядка [1].
Не разрывая велосипед на части, (чтобы не возникли реакции связей), составим уравнения движения отдельно для переднего колеса, для заднего и для рамы. Затем эти уравнения объединим.
Для получения уравнений качения переднего колеса воспользуемся теоремой об изменении кинетического момента относительно опорной точки переднего колеса . Пусть - кинетический момент колеса относительно центра (рис. 2), - главный момент внешних сил относительно того же центра. Обозначим массу колеса буквой . Тогда теорема моментов в неподвижной системе координат относительно подвижного в этой системе центра будет иметь вид


, (3)

где - количество движения колеса, - скорость центра масс колеса.

Определим кинетический момент в проекциях на оси системы координат , которые параллельны главным осям инерции колеса. Обозначим - моменты инерции колеса относительно осей соответственно . Тогда проекции кинетического момента на оси системы будут иметь вид


.
.

Выразим кинетический момент в системе .

.

Проекции кинетического момента на оси системы будут

,
.

Тогда

, , (4)
.

Пусть - вес колеса, приложенный в центре масс колеса . Точка имеет в системе координаты Тогда

, ,

где - радиус-вектор центра масс переднего колеса относительно опорной точки О.

Главный момент внешних сил относительно центра равен ,


.

Следовательно,

. (5)

Далее получим выражение . - это скорость перемещения опорной точки вместе с системой при качении колеса по опорной плоскости,

, . ,
.
Следовательно,



. (6)

Поскольку оси системы параллельны соответствующим осям системы , то с учетом (4), (5), (6) в системе координат получаем дифференциальные уравнения движения переднего колеса

. (7)

Это модель качения переднего колеса, построенная на основе динамических уравнений Эйлера в проекциях на неподвижные оси координат.