Issiqlik tarqatish operatorining fundamental yechimi va umumlashgan koshi masalasi

2.3-§ Issiqlik o’tkazuvchanlik tenglamasi uchun umumlashgan Koshi masalasi.

To’lqin tarqalish tenglamasi uchun Koshi masalasini yechimda foydalanilgan usul bu yerda issiqlik o‘tkazuvchanlik tenglamasi uchun

, (9)


(10)
Koshi masalasining yechimini topishga qo‘llaniladi. Bunda va deb hisoblayman.
Faraz qilaylik (9), (10) masalaning klassik yechimi mavjud bo‘lsin. Bu bo’lib, funksiya (9) tenglamani da qanoatlantirishini va da (10) boshlang’ich shart bajarilishini bildiradi.
va funksiyalarni , sohada nolga teng deb davom ettiramiz.
Ravshanki, davom ettirilgan va funksiyalar da
(11)
issiqlik o‘tkazuvchanlik tenglamasini qanoatlantiradi. (9), (10) Koshi masalasining
klassik yechimlari (11) tenglamaning da nolga aylanuvchi yechimlari ichida bo‘ladi. Quyidagi issiqlik o’tkazuvchanlik tenglamasi uchun umumlashgan Koshi masalasining ta‘rifini keltiramiz.
T a ’ r i f. Issiqlik tarqalish tenglamasi uchun umumlashgan Koshi masalasi deb, ushbu

tenglikni umumlashgan funksiyalar ma’nosida qanoatlantiruvchi u(x;t) funksiyani topish masalasiga aytiladi.
Ushbu paragrafdagi teoremalardan quyidagi natija kelib chiqadi:


N a t i j a.
,
va da chegaralangan funksiya bo‘lsin. U holda issiqlik o’tkauvchanlik tenglamasi uchun umumlashgan Koshi masalasining yagona yechimi mavjud, sinfga tegishli va

formula bilan ifodalanadi.
Bu yerda va funksiyalardan uzluksiz bog’liq. Agar funksiya qo’shimcha ravishda bo’lib, ikkinchi tartibli barcha hosilalari bilan sinfga tegishli va bo’lsa, u holda klassik yechimdir. Quyida muhim hisoblangan yana bir ta’rifni keltirib o’tamiz.
Ta’rif. Issiqlik tarqalish tenglamasi uchun Koshi masalasining Grin funksiyasi deb ushbu

tengliklarni qanoatlantiruvchi funksiyaga aytiladi.