Issiqlik tarqatish operatorining fundamental yechimi va umumlashgan koshi masalasi

2.2-§ Issiqlik o’tkazuvchanlik operatorining fundamental yechimi.

(1)
tenglamani yechishda Furye almashtirishidan foydalanamiz.
(1) tenglikka x bo’yicha Fx Furye almashtirishini qo’llab:

quyidagi formulalardan foydalanamiz:


Natijada umumlashgan funksiya uchun

tenglamaga ega bo’lamiz. Ushbu tenglamaning yechimi
(2)
funksiyadan iborat bo’ladi. E(x,t) funksiyani aniqlashda


(bu yerda formuladan foydalanildi) ekanligini e’tiborga olib, (2) formulaga Furyening teskari almashtirishini qo’llaymiz:

Shunday qilib, issiqlik o’tkazuvchanlik operatorining fundamental yechimi
(3)
formula bilan ifodalanadi.
Endi

funksiya uchun
(4)
tenglikni isbot qilamiz.
funksiya fazoda local integrallanuvchi funksiya bo’lib, uchun uchun va uchun
(5)
tenglik kelib chiqadi. Agar bo’lsa, u holda bo’ladi. Shuning uchun

(6)
tengliklar o’rinli bo’ladi.
bo’lsin. U holda (6) tenglikdan foydalanib


(7)


ekanligini hosil qilamiz. Shuningdek (5) munosabatdan foydalansak, u holda

tengsizlik o’rinli bo’ladi.
Endi da fazoda
yaqinlashuvchi ekanligini isbot qilamiz.
Haqiqatdan ham, ixtiyoriy bo’lsin. U holda


hosil bo’ladi. Bu yerda (5) munosabatni e’tiborga olsak, u holda da


(8) limitik munosabatga ega bo’lamiz.
Bu esa (6) va (7) munosabatlardan (8) formula kelib chiqadi.
Shuni ta’kidlash kerakki, (8) limitik munosabat funksiya chegaralangan va nuqtada uzluksiz bo’lganda ham o’rinli bo’ladi.