Iqtisodiyotdagi matematik usullar

Xulosa. Shunday qilib, agar tunuka bankalarni tayyorlash texnologiyasi banka balandligini uning asosi radiusidan ikki marta katta

bo‘lishiga yo‘naltirilgan bo‘lsa, bankaning berilgan hajmida uning sirti minimal va demak, bu texnologiyaning sarflanadigan metal xarajati bo‘yicha eng rentabel deyish mumkin.

2. 
   masala. Berilgan V hajmli va asosi kvadratdan iborat to‘g‘ri parallepiped formasidagi metal baklarni ishlab chiqishni yo‘lga qo‘yish rejalashtirilmoqda. Bakning yuqori tomoni u yasaladigan metaldan tayyorlangan qopqoq bilan bekitilishi kerak. Har bir bak to‘g‘ri to‘rtburchak ko‘rinishdagi metal listlardan payvandlash yo‘li bilan
   

tayyorlanadi. Payvandlash choki qiymati har bir pogon metr uchun P₁
pul birligini, metal listlar bahosi har bir kvadrat metr uchun P₂ pul
birligini tashkil etishi ma’lum. Berilgan hajmli bakni tayyorlashdagi minimal mumkin bo‘lgan xarajatlar miqdorini toping. Bakning optimal o‘lchamlarini aniqlang va bak optimal o‘lchamining ishlab chiqarish xarajatlari bilan bog‘liqligini tekshiring.
Yechish. Faraz qilaylik, x – bak asosi qirrasning uzunligi (metrlarda)

bo‘lsin. U vaqtda uning berilgan V hajmida balandligi
h  ^V
_x 2
, to‘la sirti

(tayyorlash uchun ketadigan metal kvadrat metrlari) quyidagiga teng:

S  S(x)  2x²  4xh  2x²  4x ^V
_x2
 2x²  ^4V .
x

Bakning barcha qirralari uzunligi yig‘indisi(payvandlash choklari

umumiy uzunligi) :
l  l(x)  8x  4h  8x  4 ^V
_x2
. Shunday ma’lumotlarga ko‘ra

bitta bakning tannarxini ifodalovchi funksiya ko‘rinishini topamiz:
С  Pl(x)  P S(x)  8P x  ^4P1V  2P x²  ^4P2V .
1 2 1 _x2 2 _x
Bu funksiya bitta bakni tayyorlash qiymati uning o‘lchamlaridan (asos tomoni va hajmi) va tayyorlashdagi mehnat va metal sarfi bilan

bog‘liqligini ifodalovchi funksiyadir. Agar V hajm, P₁
va P₂
xarajatlar

miqdorlari berilgan ekanligini hisobga olsak,
С(x)  8P x  2P x²  ^4P2V  ^4P1V

1 2 _{x x2}
funksiya qo‘yilgan masaladagi birinchi savolga javob bo‘ladi.
Qo‘yilgan ikkinchi savolga javob berish, ya’ni berilgan hajmli bakni tayyorlashdagi minimal xarajatni aniqlash uchun quyidagi masalani

yechamiz:
С(x)  8P x  2P x²  ^4P2V  ^4P1V ,
x (0,) , maqsad funksiyasining

1 2 _{x x2}

eng kichik qiymatini va shu minimal qiymatga erishuvchi
x  x₀
nuqtani

topamiz. Bu bilan bakni tayyorlashdagi texnologik topshiriq – uning optimal o‘lchamlarini (minimal xarajatlar ma’nosida) topish bajarilgan bo‘ladi.

С  С(x)
maqsad funksiyasining hosilasini topamiz:

С^(x)  8P  4P x  ^4P2V  ^8P1V 

⁴ (P x⁴  2P x³  P Vx  2PV ) 
⁴ (P x  2P )(x³  V ) .

1 2 _x2
x3 _x3 ²
1 2 1
_x3 2 1

Topilgan
C^(x)
hosilaning ko‘rinishidan tushunarliki, u
(0,)
intervalda

yagona
x₀  nuqtada nolga aylanadi. Ko‘rish qiyin emaski,
0  x  x₀

bo‘lganda
C^(x)  0 va
x  x₀
bo‘lganda
C^(x)  0 . Demak,
x₀  nuqta

С  С(x)
funksiyaning
(0,)
intervaldagi global minimum nuqtasidir.

Bak asosi qirrasining bunday x₀  qiymatida uning balandligi

x



h





 x
V V

0 ₂ 0

0
bo‘ladi.

Xulosa. Demak, berilgan V hajmli va uni tayyorlashdagi minimal
xarajatli bak qirrasi x₀  bo‘lgan kub formasida bo‘lishi lozim.
Bu javobdan shu narsa ayon bo‘ldiki, bakning optimal o‘lchami uni

tayyorlashdagi
P₁ va P₂
xarajatlar bilan bog‘liq emas, ammo bunda

minimal xarajat:
С(x

)  8P x

_{ 2P x2 } 4P₂V _ 4P₁V

 12P

 6P ,

x

x
0 1 0
2 0 ₂ 1 2
0 0

ya’ni jami minimal xarajat
P₁ va P₂
xarajatlar bilan bog‘liqligi ravshan.

3 -masala. Zavod ikki turdagi A va B mahsulotlar ishlab chiqarish uchun xomashyo sifatida zaxirasi chegaralangan po‘lat va rangli metallardan foydalanadi. Mahsulotlar tayyorlanishi uchun tokarlik va frezerlik dastgohlari ishlatiladi. Xomashyo va dastgohlar ishlatilish bo‘yicha zarur ma’lumotlar quyidagi 2.1-jadvalda keltirilgan. Mahsulotlari ishlab chiqarishning shunday rejasini topish talab etiladiki, agar frezerlik dastgohlarining vaqt rezervi to‘liq ishlatilsa, maksimal foyda ta’minlansin.


2.1-jadval

Mahsulot birligi uchun xarajatlar		A	B	Resurslar
Material	Po‘lat (kg)	10	70	320
Material	Rangli metallar (kg)	20	50	420
Jihoz	Tokarlik dastgohi (dast.-soat)	300	400	6200
Jihoz	Frezerlik dastgohi (dast.- soat)	200	100	3400
Mahsulot birligidan keladigan foyda (pul birl.)		3	8

Yechish. Masalaning matematik modelini tuzamiz. A turdagi mahsulot miqdorini x bilan, B turdagi mahsulot miqdorini esa y bilan belgilaymiz. U vaqtda jadvalda berilgan ma’lumotlarga ko‘ra, barcha mahsulot uchun (10x +70y) kg po‘lat va (20x +50y) kg rangli metallar sarflanishini aniqlaymiz. Endi po‘lat zaxirasi 320 kg, rangli metal zaxirasi
420 kg ekanligini hisobga olsak, ^x va y miqdorlar uchun quyidagi tengsizliklarga ega bo‘lamiz:
10x +70y  320, 20x + 50y  420.
Tokarlik va frezerlik dastgohlarida mahsulotlarga ishlov berish vaqtlari mos ravishda (300x  400y ) soat va ( 200x 100y ) soatni tashkil etadi. Dastgohlarning vaqt rezervlarini hisobga olsak, masala shartiga ko‘ra x va y o‘zgaruvchilar yana quyidagi munosabatlarni ham qanoatlantirishi kerak:
300x  400y  6200 ,
200x 100y  3400 .
Shunday qilib, qo‘yilgan masala uchun cheklashlar sistemasi quyidagicha:


^{10x  70 y  320, 20x  50 y  420,}
_300x  400 y  6200, 200x 100 y  3400,


^x  0, y  0.
Bu masalada mahsulotlar soni butun qiymatli bo‘lishi talabi ham bor. Shuning uchun x va y o‘zgaruvchilar yuqorida keltirilgan shartlardan tashqari, butun qiymatlilik shartini ham qanoatlantirishi lozim. Zavodning

mahsulotlar realizatsiyasidan oladigan umumiy foydasi maqsad funksiyasi bilan ifodalanadi.
F  F(x, y)  3x  8y

Shunday qilib, qaralayotgan masalaning matematik modeli
quyidagicha bo‘ladi:
F  3x  8y  max,
x  7 y  32, 2x  5y  42, 3x  4 y  62, 2x  y  34,
x, y  manfiymas butun.
Masala shartidagi 2x + y = 34 tenglamadan y miqdorni x orqali

ifodalayiz:
y  34  2x
va uni qolgan tengsizlik va maqsad funksiyasida y

o‘rniga qo‘yamiz. U vaqtda quyidagigini olamiz: F = 3x + 8(34 – 2x), x
+7(34 –2x)  32, 2x + 5(34 – 2x)  42, 3x + 4(34 – 2x)  62, y = 34 – 2x,
x  0, 34 – 2x  0.
Oxirgi cheklashlar sistemasini o‘zgartirib, 16  x  17, y = 34 – 2x munosabatlarga ega bo‘lamiz. Ravshanki, F =272 –13x funksiya eng katta qiymatiga x =16 bo‘lganda erishadi:

^Fmax
 272 1316  64 (pul birl.).

x =16 bo‘lganda y = 2 ekanligini topamiz.