Nochiziqli tebranishlar, parametrik tebranishlar Raus funksiyasi. Xususiy hollar

Nochiziqli tebranishlar, parametrik tebranishlar Raus funksiyasi. Xususiy hollar

• Lagranj formalizmida siklik koordinata tushunchasi kiritilgan edi. Siklik deb Lagranj funksiyasida ishtirok etmagan umumlashgan koordinatani aytilgan edi. Unga mos kelgan umumlashgan tezlik Lagranj funksiyasida ishtirok etadi: L=L(,…, ,…,). Bu siklik koordinata Gamilton funksiyasida ishtirok etmaydi.
• Mos keluvchi umumlashgan impuls

=

• Eyler-Lagranj tenglamasi bo’yicha saqlanuvchan kattalik: =0 ko’rinishda yoziladi.Kanonik tenglamalar bo’yicha

==0

•  

Demak, H ham ga bog’liq emas ekan.

Demak, H ham ga bog’liq emas ekan.

Gamilton funksiyasi kanonik juftlik(, ga bog’liq bo’lmaydi, kanonik sistemaga kirgan tenglamalar soni ham 2 taga kam bo’ladi

=, =-, k=1,…..,k≠I,…,n.

Umumlashgan koordinata ni shunda = tenglamani oddiy integrallash yo’li bilan topish mumkin:

•  

Umumlashgan koordinata ni shunda = tenglamani oddiy integrallash yo’li bilan topish mumkin:

Umumlashgan koordinata ni shunda = tenglamani oddiy integrallash yo’li bilan topish mumkin:

Agar ta koordinata siklik bo’lsa, unda kanonik tenglamalar sistemasining tartibini ga tushgurish mumkin.

Siklik koordinatalarning mavjudligida ko’pincha Gamilton funksiyasi o’rniga Raus funksiyasi kiritiladi. Umumlashgan koordinatalarni 2 qismga bo’lamiz:

, bunda - { ta siklik bo’lgan koordinatalar va

qolgan umumlashgan koordinatalar.

Bu holda k ta birinchi integralga egamiz:

===const, i=1,…,k.

•  

Raus funksiyasi quyidagicha ta’riflanadi:

Uning to’liq differensialini topaylik:

Demak,

=, =-, i=1,…,k

= i=k+1,…,n.

•  

Bu sistemaga kirgan birinchi tenglamalar Gamilton tenglamalari ko’rinishiga ega, Gamilton funksiyasi rolini Raus funksiyasi o’ynaydi.

• Bu sistemaga kirgan birinchi tenglamalar Gamilton tenglamalari ko’rinishiga ega, Gamilton funksiyasi rolini Raus funksiyasi o’ynaydi.
• Ikkinchi qatordagi tenglamalar esa o’zgaruvchilar uchun

Tenglamalarni olishimizni ko’rsatadi. Bu- Lagranj funksiyasi rolini Raus funksiyasi o’ynaydigan Eyler-Lagranj tenglamalari.

koordinatalar siklik bo’lgani uchun ular Raus funksiyasiga ham kirmaydi. Ularga mos keluvchi impulslar o’zgarmas sonlar:

Demak, Raus funksiyasi

(,…, ,…, ,…, , ,…, )

ko’rinishga ega bo’ladi. Agar

•  

O’zgaruvchilar uchun Lagranj tenglamalarti yechilgan bo’lsa, siklik o’zgaruvchilarni

=

tenglamalardan to’gri integrallash yo’li bilan toppish mumkin, chunki bu tenglamaning o’ng tomoni faqat o’zgarmas sonlar va vaqtning funksiyasidir.

Energiyani Raus funksiyasi orqali ifodalab olish mumkin:

•  

E’tiboringiz uchun raxmat