Iqtisodiyotdagi matematik usullar

Xulosa. Shunday qilib, qo‘yilgan shartlarda maksimal daromad qilish uchun zavod kuniga A mahsulotdan 16 birlik va B mahsulotdan 2 birlik miqdorda tayyorlashi kerak bo‘ladi.
4-masala. Korxona sexida qo‘shimcha jihozlar o‘rnatishga qaror qilindi va buning uchun 36 m² joy ajratildi. Korxona ikki tipdagi jihozlar sotib olishi mumkin va buning uchun 20000 pul birligi ajratildi. 1-tipdagi jihoz komplekti bahosi 2000 pul birligi, 2-tipdagi jihoz komplekti bahosi esa 6000 pul birligini tashkil etadi. 1-tipdagi jihozning bir komplektining o‘rnatilishi korxona mahsulotini bir smenada 4 birlikga, 2-tip jihozning bir komplekti esa – 8 birlikga oshirish imkonini beradi. Agar 1-tip jihozning bir komplekti uchun 4 m², 2-tip jihoz uchun esa – 2 m² joy talab etilsa, korxonaning mahsulot ishlab chiqarishini maksimal oshirishga imkon beruvchi jihozlar to‘plamini sotib olish va o‘rnatish rejasi tuzilsin.
Yechish. Dastlab masalaning matematik modelini quramiz. Korxona sotib olishi mumkin bo‘lgan 1-tip jihoz komplektlari sonini x , 2-tip jihoz komplektlari sonini ^y deb belgilaymiz ( x  0, y  0 ). U vaqtda korxonada
mahsulot ishlab chiqarishning oshishi F  4x  8y (birlik) bo‘ladi. Jihozlar
baholari va jami ajratilgan mablag‘ bo‘yicha qo‘ylgan shartlarga ko‘ra,

2000x  6000y  20000 (pul birligi) yoki
x  3y  10
cheklashni olamiz.

Jihozlarning egallaydigan joylari va jami ajratilgan joy bo‘yicha shartlar
asosida 4x  2y  36 (m²) yoki 2x  y  18 cheklashga ega bo‘lamiz. Demak,
masalaning matematik modeli quyidagicha:

F  4x  8y  max,
x  3y  10 ,
2x  y  18 ,
x  0, y  0 , x , y – butun son. (2.1)

Hosil qilingan masalani yechish uchun quyidagi ko‘rinishda yozamiz:
  x  2y deb belgilab, uni

  max,
x  2y   ,
x  3y  10 ,
2x  y  18 ,

10. 
     0, y  0 ,  , x, y – butun qiymatli.
    

Endi
x  2y    x    2y ,
x  0, y  0  0  y  ^
2
munosabatlarni hisobga

olib, quyidagi masalaga ega bo‘lamiz:

  max,
  y  10 ,
2  3y  18 ,
0  y  ^
2
,  va y – butun son. (2.2)

  y  10 ,
2  3y  18 munosabatlardan


_10  y, y  ²


  max{10  y,( 18  3y) / 2}  ^{ 5}
_18  3y _{, y } 2
^ 2 5

kelib chiqadi. Bundan (2.2) masala yechimi
^{max    0  9, y0  1} yoki
y ⁰  0

1

2
ekanligini olamiz. Yuqoridagi   x  2y belgilashni hisobga olsak,

x⁰   ⁰  2y⁰  7 , x⁰   ⁰  2y⁰  9
kelib chiqadi. Bu esa (2.1) masala ikkita

1 1 2 2

yechimga ega ekanligini ko‘rsatadi:
x⁰  7 , y ⁰  1; x⁰  9 , y ⁰  0 .

1 1 2 2

Xulosa. XX asr boshlarida yuqori darajada rivojlangan iqtisodiy xo‘jalik tizimi ehtiyojlari nafaqat global, balki aniqroq(konkret) iqtisodiy ko‘rsatkichlar va xarakteristikalarga bo‘lgan talab zarurligini keltirib chiqardi. SHu sababli tarmoqlararo balans tizimi (Rossiya, 1925-y.) yaratildi hamda mahsulot ishlab chiqarish va taqsimotning tarmoqlararo modeli bo‘lgan V.V.Leontevning (AQSh, 1936-y.) “xarajatlar-ishlab
chiqarish” modeli yaratildi. Iqtisodiy dinamikaning dastlabki matematik modellaridan biri amaerikalik matematik Dj.Fon Neyman tomonidan 1937-yili qurilgan kengayib boruvchi iqtisodiyot modeli hisoblanadi.
Iqtisodiy masalalarni tadqiq etish va yechish uchun matematik apparatni kengroq qo‘llanila borishi bilan iqtisodiy tahlilga maxsus mo‘ljallangan matematik usullarni yaratish zaruriyati paydo bo‘ldi. Bu esa matematika fanining yangi yo‘nalishlari: matematik dasturlash, qaror qabul qilish nazariyasi, o‘yinlar nazariyasi, ommaviy xizmat ko‘rsatish nazariyasi, graflar nazariyasi va boshqalarning paydo bo‘lishi va rivojlanishiga olib keldi. Iqtisodiyotning eng muhim amaliy masalalaridan biri – iqtisodiy tizimning turli darajalariga mos holda xo‘jalik yuritish rejasini tuzishdan iborat. Iqtisodiyotning ishlab chiqarishni tashkillashtirish rejasi bilan bog‘liq masalalari uchun xarakterli belgi – imkoniyatli (mumkin bo‘lgan) yechimlar to‘plamining ko‘p qiymatli, ko‘p variantli bo‘lishidir. Bu echimlarni muvaffaqiyatli tanlaganda aynan bir xil xarajatlarda katta iqtisodiy samaradorlikka erishish mumkin. Shuning uchun muayyan ma’noda eng yaxshi yoki boshqacha aytganda, optimal echim(rejani) topish iqtisodiy masalalarda alohida ahamiyatga ega. Bunday masalalarni yechishning matematik usullari matematik dasturlash fanining asosini tashkil etadi.


Chiziqli dasturlash masalasi birinchi marta yukni tashishda jami yuriladigan kilometrni minimallashtirishni ta’minlaydigan optimal rejani tuzish masalasi ko‘rinishida rossiyalik iqtisodchi A.N.Tolstov (1930-y.) tomonidan qo‘yilgan edi. 1931-yil venger matematigi B.Egervari “tayinlash masalasi” deb ataluvchi matematik masalani qo‘ydi va unga mos butun sonli chiziqli dasturlash masalasini yechdi. Chiziqli dasturlash masalalarini tizimli tadqiq etish va ularni yechishning umumiy usullarini ishlab chiqish 1938-yil rossiyalik olim L.V.Kantorovich tomonidan boshlandi. Uning bu sohadagi birinchi ishi “Ishlab chiqarishni tashkillashtirish va rejalashtirishning matematik usullari” (1939-y.) paydo bo‘lishi bilan iqtisodiy-matematik usullar rivojlanishida yangi bosqich boshlandi. U 1949-yili M.K.Gavurin bilan birgalikda chiziqli dasturlashning transport masalalarini yechishda qo‘llaniladigan potensiallar usulini ishlab chiqdi. Keyinchalik L.V.Kantorovich, V.S.Nemchinov, V.V.Novojilov, A.L.Lure, D.B.Yudin, E.G.Golshteyn, A.Brudno, R.Gabasov, F.M.Kirillova boshqalarning ishlarida chiziqli va chiziqsiz dasturlash matematik nazariyasi hamda uning turli iqtisodiy masalalarda qo‘llanishlari rivojlantirildi. Iqtisodiy-matematik usullarni rivojlantirilishiga qo‘shgan katta hissasi uchun akademik L.V.Kantorovich 1975-yili Nobel mukofotiga sazovor bo‘ldi.