Invariantlar

Giperbola shakli. Giperbolaning



_x 2  _y 2 


_a 2 _b2 ¹
tenglamasiga asoslanib uning shaklini aniqlaymiz.

Ellips tenglamasi ustida olib borilgan muhokamalarni takrorlab giperbolaning koordinatalar boshi, koordinata o’qlariga nisbatan simmetrikligi aniqlanadi.

Giperbola Ox o’qni
A₁a, 0 va
A₂  a, 0nuqtalarda kesadi. (1.2.25)

tenglama bilan aniqlangan giperbola Oy o’q bilan kesishmaydi. Haqiqatan

(1.2.25) tenglamaga x  0
ni qo’ysak,
_y 2

 
_b 2 ¹
. Ravshanki, bu tenglik haqiqiy

sonlar sohasida o’rinli bo’lmaydi.
A₁, A₂ nuqtalar giperbolaning uchlari deyiladi. Shunday qilib, giperbolaning ikkita uchi bor ekan. Giperbolaning uchlari orasidagi masofa uning haqiqiy o’qi deyiladi.

Ordinatalar o’qida 0 dan b masofada turuvchi
B₁0,b va
B₂ 0,  b

nuqtalarni belgilaymiz.
B₁B₂  2b ni giperbolaning mavhum o’qi deyiladi.

Agar
M x, y nuqta giperbolada yotsa, uning uchun (1.2.25) tenglamadan:

x  a . Demak,
x  a
to’g’ri chiziqlar bilan chegaralangan

• 
  ^{a  x  a} polosada
  

giperbolaning nuqtalari yo’q .
(1.2.25) tenglamani y ordinataga nisbatan yechamiz:

y   ^b
a
x²  a^{2 . (1.2.34)}

^{Bu tenglamadan ko’rinadiki, x miqdor a dan   gacha ortganda va –a dan} 

gacha kamayganda y miqdor
   y  
oraliqdagi qiymatlarni qabul qiladi.

Demak, giperbola ikki qismdan iborat bo’lib, ular giperbolaning tarmoqlari
deyiladi.
Giperbolaning bir (o’ng) tarmog’i x  a yarim tekislikda, ikkinchi (chap)
tarmog’i x  a yarim tekislikda joylashgan.

Eslatma. Agar giperbolaning fokuslari ordinatalar o’qida joylashgan


_y 2  _x 2 

bo’lsa, uning kanonik tenglamasi _{b2 a 2} 1 ko’rinishda bo’ladi.

3. 
   Giperbola asimptotalari. Giperbolaning shaklini yana ham aniqroq tasavvur qilish maqsadida tekis (yassi) chiziqning asimptotasi tushunchasini kiritamiz.
   

^{Ta’rif. Agar M}^{G nuqta shu G chiziq bo’ylab harakatlanib borganida uning} u to’g’ri chiziqqacha bo’lgan masofasi nolga intilsa, to’g’ri chiziq G chiziqning asimptotasi deyiladi.

 ^b   ^b


_x 2  _y 2 

^Teorema. y


asimptotalaridir.
x, y
a
x ^{to’g’ri chiziqlar}

1. 
   
   2
   ^{a 2}
   
2. 
   ¹ giperbolaning
   

Isbot. Giperbola koordinatalar o’qlariga nisbatan simmetrik bo’lgani uchun giperbolaning birinchi chorakdagi qisminigina olish yetarli. SHu

maqsadda
x  a
da giperbolaning birinchi chorakdagi qismini aniqlaydigan

y   ^b
a
x²  a²
(1.2.35)

tenglama bilan


y  ^b x
a
(1.2.36)

tenglamani solishtiramiz. burchak
y  ^b x ^{to’g’ri chiziq koordinatalar boshidan o’tadi va}
a

koeffitsenti
k  ^{b . 11- chizmada}
a

to’g’ri chiziqning birinchi chorakdagi bo’lagi tasvirlangan bo’lib, unda

OA  a, AB  b .

11-chizma

Giperbola va
y  ^b x ^{to’g’ri chiziqda mos ravishda joylashgan bir hil abstsissali}
a

M x, y,
N x,Y 
nuqtalarni qaraymiz. Bu ikki nuqtaning mos ordinatalari:

y   ^b
a
x²  a² , Y  ^b x ^bo’ladi.
a

MN kesmaning uzunligini hisoblaymiz:

Y  ^b x  ^b x²  ^b
x²  a²
 y  Y  y

a a a

yoki Y  y  0 , demak,
pM , N   Y  y . Lekin

Y  y 
^b x 


x²  a
² 
b x 
x²  a² x  x²  a² 

a a _{x }
x²  a²

yoki


Y  y  .

Giperboladagi M nuqtadan (1.2.36) to’g’ri chiziqqa tushirilgan perpendikulyarning asosi R bo’lsin, u holda


^{pM , P  pM , N   pM , P } .

lim
x _{x }
ab
x ²  a ²
ifodani tekshiraylik. Uning maxraji cheksiz ortib boruvchi ikki

musbat qo’shiluvchining yig’indisidan iborat bo’lib, surati esa o’zgarmas ab

miqdordir, demak,

lim
x
 0 .

U holda


pM , P  pM , N  dan


pM , P  0 .

Demak, giperboladagi M nuqta giperbola bo’yicha harakatlanib, uning uchidan yetarlicha uzoqlashsa, M nuqtadan (1.2.36) to’g’ri chiziqqa bo’lgan msofa nolga intiladi. Yuqoridagi ta’rifga ko’ra giperbolaning qaralayotgan qismi uchun (1.2.36) to’g’ri chiziq asimptota bo’ladi.
Giperbolaning koordinata o’qlariga

12. 
    chizma
    

nisbatan simmetrikligidan

y   ^b x ^to’g’ri
a

chiziq ham giperbolaning asimptotasidir.

Shunday qilib,
y  ^b x, a


y   ^b x
a
(1.2.37)

tenglamalar bilan aniqlanadigan to’g’ri chiziqlar giperbolaning asimptotalaridir (12-chizma)

Misol.

Asimptotalari
2x  y  0,
2x  y  0 tenglamalar bilan berilgan va fokuslari

markazdan 5 birlik masofada bo’lgan giperbolaning kanonik tenglamasini tuzing.

Yechish.

Berilgan tenglamalarni
y  2x,
y  2x ko’rinishda yozib olsak hamda

(1.2.37) tenglamalar bilan solishtirsak,
^b  2
a
yoki
b  2a bo’ladi. Fokuslar

markazdan 5 birlik masofada bo’lgani uchun
c  5 bo’lib,
b²  c²  a²
tenglikdan

foydalansak,
4a²  25  a² , bundan
a²  5, a 
, u holda
b  2
. SHularga

asosan giperbolaning izlanayotgan tenglamasi:


_x 2  _y 2 


¹ .
5 20

4. 
   Teng tomonli giperbola. Yarim o’qlari teng bo’lgan giperbola teng tomonli deb ataladi.
   

^x 2  ^y 2  
^ 

_a 2 _b2
tenglamada b bo’lganda:

x²  y²  a² . (1.2.38)

Teng tomonli giperbola asimptotalarining tenglamalari
y  x,
y  x
ko’rinishda

bo’lib, ular o’zaro perpendikulyar ^k₁k₂  1^ . Bu asimptotalarni yangi koordinata o’qlari sifatida qabul qilsak, teng tomonli giperbola tenglamasi o’rta maktab

kursida ko’riladigan ixcham
xy  a
ko’rinishni oladi.

Haqiqatan, ^Ox o’q uchun
y  x
asimptotani, Oy o’q uchun esa
y  x

_{ } → ^ →_{ ∘}

asimptotani olsak, u holda
  i , i   45 .

 

Eski x, y koordinatalardan yangi koordinatalarga o’tish formulalaridan

_{x } x^  y^ _{, y }  x^  y^ _.

Endi
x, y koordinatalardan
x^, y^ ga o’tsak, teng tomonli giperbolaning

yangi tenglamasini hosil qilamiz:

x^y
^  ^a 2
2
yoki
y^ 
_a 2
2x^{ .}