Invariantlar

I bob. Ikkinchi tartibli egri chiziqning kanonik tenglamalari.

1.1-§. Chiziq haqida tushuncha.

Ta’rif. Tekislikdagi biror affin reperda
F (x, y)  0
tenglamaning chap

tomoni
x, y
ga nisbatan algebraik ko’phad, ya’ni
a xⁱ y ^j ko’rinishdagi hadlarning

i j
algebraik yig’indisidan iborat bo’lsa, bu tenglama bilan aniqlanuvchi nuqtalar to’plami algebraik chiziq, tenglama esa algebraik tenglama deyiladi.

i, j manfiy bo’lmagan butun sonlar bo’lib,
i  j son
a xⁱ y ^j
hadning

i j
darajasi deyiladi.


i, j
darajalar yig’indisining maksimal qiymati
F x, y

ko’phadning darajasi, shu bilan bir vaqtda deyiladi.
F^x, y^  0 tenglamaning ham darajasi

Masalan,


Fx, y  Ax  By  C  0

birinchi darajali algebraik tenglama,

Fx, y  Ax²  Bxy  Cy ²  Dx  Ey  F  0

ikkinchi darajali algebraik tenglamadir. Algebraik bo’lmagan barcha chiziqlar

transtseendent chiziqlar deyiladi.

Algebraik bo’lmagan chiziqlarga misollar sifatida ushbu tenglamalarning grafiklarini ko’rsatish mumkin:


y  sin x  0, y  tgx  0, y  lg x  0, y  a^x  0.


Ta’rif. Biror affin reperda n- darajali algebraik tenglama bilan aniqlanadigan figura n-tartibli algebraik chiziq deb ataladi.
Biz tekislikdagi birinchi va ikkinchi tartibli algebraik chiziqlarni tekshirish bilan cheklanamiz.
Teorema. Bir affin reperdan ikkinchi affin reperga o’tishda chiziqning algebraikligi va uning tartibi o’zgarmaydi.

Isbot. Tekislikdagi biror O, e^→ , e^→ 
affin reperda biror l chiziq n- darajali

1 2

Fx, y  0 algebraik tenglama bilan aniqlangan bo’lsin. O^, e^→, e^→ 
yangi affin

1 2

reperni olamiz. Bu reperlar orasidagi bog’lanish bizga ma’lum:

x  a₁ x^  b₁ y^  c₁ ,
y  a₂ x^  b₂ y^  c₂ ,


bu yerda
a₁ b₁ a₂ b₂


 0.

(1.1.1)

i j
l chiziqning yangi koordinatalardagi tenglamasini hosil qilish uchun uningtenglamasidagi eski o’zgaruvchilarni (1.1.1) formulalar bo’yicha

almashtiramiz. Natijada
Fx, y  0
tenglamadagi har bir
a xⁱ y ^j hadning o’rnida

a a x^  b y^  c ⁱ a x^  b y^  c ^j
i j 1 1 1 2 2 2
ko’rinishdagi had hosil bo’ladi. Barcha shundan hadlardan qavslarni ochib

ixchamlasak,
Ô x^, y^  0
ko’rinishdagi algebraik tenglama hosil bo’ladi.

Ô x^, y^  0
tenglamaning har bir hadi
^bst
x^^s y^^t
ko’rinishdagi hadlardan iborat

bo’lib, har bir shunday hadning daraja ko’rsatkichi
^{s  t  i  j} . Agar

Ô (x^, y^) ko’phadning darajasini m bilan belgilasak, natijada bo’lamiz.
m  n ga ega

Endi m ning n dan kichik bo’la olmasligini ko’rsatamiz. Faraz qilaylik,

m  n bo’lsin. mavjud:
a₁ b_{1  0}
a₂ b₂
shartda (1.1.1) almashtirishga teskari almashtirish

 b₁ c₁
^ _b² _b b c

^x^ 
_{x } 1 _{y } ^{2 2}

 a b 

^   
^ 
1 1 _
(1.1.2)

^  _{a b} 



^ y^

 _a 2




x  ^a1 y 
 
1 2 _

(1.1.2) dan
x^, y^ ning qiymatlarini
Ô x^, y^  0
tenglamaning chap

tomoniga qo’ysak, yana
Fx, y  0
tenglamaga qaytamiz. Yuqoridagi

mulohazani takrorlasak, hosil bo’lgan F(x, y) ko’phadning darajasi
n  m
bo’ladi.

Bir vaqtda ham darajasi m=n .
^{m  n} , ham
n  m yuz bera olmaydi. Demak, Ô (x^, y^)
ko’phadning

Xullas, algebraik chiziqning tartibi va uning algebraikligi affin (yoki dekart) koordinatalar sistemasining tanlanishiga bog’liq emas. Shuning uchun chiziqlarning algebraik va transtsendent chiziqlarga bo’linishida faqat affin koordinatalar sistemasi (dekart koordinatalar sistemasi) ko’zda tutiladi.

Qutb koordinatalar sistemasida chiziqlarni bu tariqa sinflarga ajratib bo’lmaydi. Chunonchi markazi qutb va radiusi a ga teng aylana tenglamasi r  a  0 dan iborat bo’lib, u r ga nisbatan
birinchi darajali, ya’ni algebraik ₀
tenglamadir. Shu aylana uchun qutb aylananing o’zida olinsa, aylana
r  2a cos  0 tenglama bilan, ya’ni

transtsendent tenglama bilan ifodalanadi. (1- chizma).

(1- chizma)

To’g’ri chiziqning turli tenglamalari.

Ta’rif. To’g’ri chiziqqa parallel har qanday vektor uning yo’naltiruvchi vektori deyiladi.
Quyida biz to’g’ri chiziqning berilish usullariga qarab uning tenglamasini keltirib chiqaramiz.

1. 
   To’g’ri chiziqning parametrik tenglamalari. Tekislikda u to’g’ri
   

chiziqning vaziyati biror ^O, e^→ , e^{→ }
affin reperga nisbatan shu to’g’ri chiziqqa

1 2

tegishli
M ₀ x₀ , y₀ 
nuqta va yo’naltiruvchi
u^→a , a 
vektor bilan to’la aniqlanadi

1

2
(2-chizma). Bu ma’lumotlarga asoslanib, u to’g’ri chiziqning tenglamasini keltirib chiqaramiz. M orqali u to’g’ri chiziqning ixtiyoriy nuqtasini belgilaymiz. U holda
M₀M vektorni yo’naltiruvchi vektor sifatida olish mumkin.

Demak, shunday t son topiladiki ,

0
M M  tu^→
(1.1.3)

bo’ladi. Aksincha, biror M nuqta uchun munosabat o’rinli bo’lsa, u holda

M ₀ M
faqat
u^→ . Demak, (1.1.3) munosabat
u to’g’ri chiziqqa tegishli M

nuqtalar uchungina bajariladi, M, M₀

nuqtalarning radius-vektorlarini mos

ravishda
r^→, r^→ bilan belgilasak, ya’ni

0

0
r^→  OM , r^→


 OM ₀

bo’lsa, u holda

0

0
M M  r^→  r^→ .
2-chizma

(1.1.3) tenglikdan



0
r^→  r^→

• 
  tu^→.
  

(1.1.4)

Bu tenglama u to’g’ri chiziqning vektorli tenglamasi deb ataladi. t ga turli hil qiymatlar berib, u ga tegishli nuqtalarning radius-vektorlarini hosil qilamiz; (1.1.4) tenglamaga kirgan t o’zgaruvchi parametr deb ataladi.

Endi (1.1.4) ni koordinatalarini yozaylik. M nuqtaning koordinatalarini x, y

bilan, M₀ nuqtaning koordinatalarini tenglamalar hosil qilinadi:
x₀ , y₀
bilan belgilasak, natijada ushbu

x  x₀  a₁t ,
y  y₀  a₀t .
(1.1.5)

Bu tenglamalar to’g’ri chiziqning parametrik tenglamalari deb ataladi.

Agar u to’g’ri chiziq koordinata o’qlaridan birortasiga ham parallel

bo’lmasa, ya’ni
a₁a₂  0 shart bajarilsa, (1.1.5) dan ushbu

x  x₀ a_1
 y  y₀
a₂
(1.1.6)

tenglamani hosil qilamiz. Undan


a₂ x  a₁ y   a₂ x₀  a₁ y₀   0.
(1.1.7)

Bu yerda shartga ko’ra a₁ , a₂ lardan kamida bittasi noldan farqli, shu sababli (1.1.7) birinchi darajali tenglamadir. SHuning bilan ushbu muhum xulosaga keldik: har qanday to’g’ri chiziq birinchi tartibli algebraik chiziqdir.

2.