Invariantlar

To’g’ri chiziqni tenglamasiga ko’ra yasash.

Quyida biz biror affin reperga nisbatan tenglamasi bilan berilgan to’g’ri chiziqni yasashning bir necha usullari bilan tanishamiz.

1. 
   To’g’ri chiziq o’zining ikki nuqtasining berilishi bilan to’liq aniqlanganlii
   

uchun u biror O, e^→ , e^→  reperga nisbatan qanday ko’rinishdagi tenglamasi bilan
1 2

berilmasin, uni yasash uchun ikki nuqtasini yasash kifoyadir.

Misol. x  2 y  3  0 tenglama bilan berilgan to’g’ri chiziqni yasang.

To’g’ri chiziqning ikki nuqtasini topish uchun berilgan tenglaadagi x o’zgaruvchiga ixtiyoriy ikki qiymatni berib, tenglamadan bu qiymatlarga y ning mos qiymatlarini topamiz;

x=1 da 1+2y-3=0 dan y=1,

Topilgan


M₁ 1,1,


M ₂ 1, 2
x=-1 da -1+2y-3=0 dan y=2.

nuqtalarni yasab, ularni tutashtirsak, izlanayotgan

M₁M ₂ to’g’ri chiziq xosil bo’ladi. (3-chizma).

2. 
   to’g’ri chiziq ^O, e^→ , e^{→ }
   

reperda
y  kx  b ko’rinishdagi tenglama bilan

1 2

berilgan bo’lsa, uni quyidagicha yasash mumkin. Ordinatalar o’qida (0, b)

nuqtani yasaymiz hamda ^1, k ^ vektorni yasab, to’g’ri chiziq o’tkazamiz.
(0, b) nuqtadan u vektorga parallel

M
y
2 _A
u→

e
→
2

e

0

x
M_{1 →}
1

e
→
2
17

e

0
→ _B
1

(3-chizma) (4-chizma)

Misol. y  2x  3 tenglama bilan aniqlanuvchi to’g’ri chiziqni yasang.

(0,  3) nuqtani yasaymiz. 4-chizmada bu V nuqtadir. So’ngra shu chizmada

1
u^→  e^→
 2e^→
vektorni yasaymiz. Chizmada bu OA vektordir. Endi V nuqtadan OA

2
vektorga parallel to’g’ri chiziq o’tkazamiz.

3. 
   Agar to’g’ri chiziq
   

^{x  x0  a1t,}



0
^ y  y  a t
2

parametrik tenglamalari bilan berilsa, bu to’g’ri chiziq ham 2-holdagi singari

(x₀ , y₀ ) nuqtadan o’tib a₁ , a₂ vektorga parallel to’g’ri chiziq kabi yasaladi.

1.2-§. Ikkinchi tartibli egri chiziqning kanonik tenglamalari.

Ellips

1. 
   Ta’rifi, kanonik tenglamasi. Tekislikda har bir nuqtadan fokuslar deb
   

ataluvchi berilgan ikki
F₁ , F₂
nuqtagacha bo’lgan masofalari yig’indisi berilgan

PQ kesma uzunligiga teng bo’lgan barcha nuqtalar to’plami ellips deb ataladi. Berilgan kesma uzunligi fokuslar orasidagi masofadan katta.

Berilgan kesmaning uzunligini 2a(a  0) bilan, fokuslar orasidagi masofani

2c(c  0) bilan belgilaylik. Tarifga ko’ra a > c.

Ellipsdagi ixtiyoriy M nuqtaning
F₁ va F₂
fokuslardan masofalari uning

fokal radiuslari deyiladi va mos ravishda
r₁ , r₂
bilan belgilanadi, ya’ni

r₁  pF₁ , M  va r₂  pF₂ , M .

Ellipsning ta’rifiga ko’ra
r₁ , r₂
fokal radiuslarning yig’indisi o’zgarmas

bo’lib, berilgan kesma uzunligiga teng, ya’ni


pF₁ , M  pF₂ , M   2a yoki
r₁  r₂  2a . (1.2.1)

(1.2.1) tenglik ellipsga tegishli ixtiyoriy nuqta uchun o’rinli bo’lib, uni koordinatalarda ifodalaylik.
Dekart reperini tenglamaning sodda bo’lishiga imkon beradigan qilib tanlaymiz: abstsissalar o’qini fokuslar

orqali F₂
dan
F₁ ga yo’naltirib

o’tkazamiz.
F₁ F₂
kesmaning o’rta

perpendikulyarini 5-chizmada ko’rsatilgan yo’nalishda ordinatalar o’qi deb olamiz.

(5-chizma)

Tanlangan bu O, i^→, ^→j  reperda


F₁ va


F₂ nuqtalarning koordinatalari mos

ravishda
(c, 0) va
(c, 0) bo’ladi.

Ellipsdagi ixtiyoriy M nuqtaning koordinatalarini x, y bilan belgilasak, ikki nuqta orasidagi masofa formulasiga ko’ra

r₁  ,


r₂  (1.2.2)


r₁, r₂ ning (1.2.2) munosabatlardagi qiymatlarini (1.2.1) tenglikka qo’yib,

ushbu tenglamaga ega bo’lamiz:

  2a . (1.2.3)

(1.2.3) tenglama tanlangan reperga nisbatan ellipsning tenglamasidir, chunki M(x, y) nuqtaning koordinatalari bu tenglamani faqat M nuqta ellipsga tegishli bo’lgan holdagina qanoatlantiradi.

(1.2.3) tenglamaning birinchi hadini o’ng tomonga o’tkazib, hosil bo’lgan tenglamaning ikkala tomonini kvadratga oshirsak.


x²  2cx  c²  y²  4a²  4a  x²  2cx  c²  y² .

Bundan

2cx  4a²  2cx  4a

yoki

a  a²  cx .

Hosil qilingan tenglamaning ikkala tomonini yana kvadratga oshiramiz:


a² x²  2a²cx  a²c²  a² y²  a⁴  2a²cx  c² x² ,

bundan

a²  c² x²  a² y²  a² a²  c² . (1.2.4)

a  c  a²  c² , demak,
a²  c²  0 , bu musbat sonni b²
deb olaylik:

b²  a²  c² . (1.2.5)

u holda (1.2.4) tenglik quyidagi ko’rinishda yoziladi:

b² x²  a² y ²  a²b² . (1.2.6)

(1.2.6) ni a ²b ² ga bo’lib, ushbu tenglamaga ega bo’lamiz:

_x 2  _y 2 

_a 2 _b2
¹. (1.2.7)

Endi (1.2.7) tenglama haqiqatan ham ellipsni ifodalashini isbot qilamiz, chunkiellips tenglamasi (1.2.3) ko’rinishda olingan edi. (1.2.7) tenglama (1.2.3) tenglamani ikki marta radikallardan qutqarish bilan hosil qilindi. Demak, (1.2.7) tenglama (1.2.3) tenglamaning natijasi, boshqacha aytganda, koordinatalari (1.2.3) ni qanoatlantiradigan har bir nuqta (1.2.7) tenglamaning natijasi ekani ravshan emas. (1.2.3) tenglama (1.2.7) tenglamaning natijasi ekanini ko’rsatamiz.

M₁ ^x₁ , y₁ ^ (7) tenglamani qanoatlantiruvchi ixtiyoriy nuqta bo’lsin, ya’ni


_x 2 _y 2
^{1  1  1}. (1.2.8)
_a 2 _b2

M₁ nuqta uchun
r₁  r₂  2a
tenglikning bajarilishini ko’rsatamiz.

^M1 nuqtaning fokal radiuslari,

r₁  , (1.2.9)


r₂  . (1.2.10)


_{2 2} ^ x^{2 }

(1.2.8) tenglikdan
y₁  b ^1 ^{1 } , bu qiymatni (1.2.9) va (1.2.10) tengliklarga

qo’yib,






r₁ 
_a ² 
.

r₂ 

tengliklarga ega bo’lamiz. (1.2.5) munosabatdan
c²  a²  b²
va a²  b²  c² ,

shuning uchun yuqoridagi tengliklar ushbu ko’rinishni oladi:

c c

r₁ 
 _a x₁  a  a  _a x₁ ,

c c

r₂ 
 _a x₁  a  a  _a x₁ . (1.2.11)

^{Yuqoridagi sabablarga ko’ra} 0  ^c  1^{, (1.2.8) tenglikdan  x}
 a . U holda

a
x  a ^{, shuning uchun} a  ^c x  0 ^va a  ^c x
1

• 
  0 ^{. Bularni e’tiborga olsak,}
  

1 _a 1 _a 1

(1.2.11) tengliklar ushbu ko’rinishni oladi:

r  a  ^c x ^; r  a  ^c x ^{. (1.2.12)}
1 _a 1 2 _a 1
(1.2.12) tengliklarni hadlab qo’shsak,

r₁  r₂  2a

ga ega bo’lamiz. Demak, koordinatalari (1.2.7) tenglamani qanoatlantiradigan

har qanday M₁ (x₁ , y₁ ) nuqta ellipsga tegishli.

(1.2.7) tenglama ellipsning kanonik tenglamasi deyiladi.

(1.2.12) tengliklardan ushbu xulosa kelib chiqadi: ellipsning ixtiyoriy

M x, y nuqtasining
r₁ , r₂ fokal radiuslari bu nuqtaning abtsissasi orqali

r  a  ^c x ^va
1 _a
r  a  ^c x
2 _a
(1.2.13)

ko’rinishda chiziqli ifodalanadi.

Agar xususiy holda
a  b
bo’lsa, ellipsning tenglamasi

x  y²  a²

ko’rinishni oladi. Bu tenglama markazi koordinatalar boshida va radiusi a ga

teng aylanani ifodalaydi. Demak, aylana ellipsning xususiy holi.
a  b bo’lganda

b²  a²  c²
dan
c  0. c  0 bo’lganda
a²  b²  c²  a  b .

Misol. Har bir nuqtasidan
F₁(4, 0) ,
F₂ (4, 0)
nuqtalargacha bo’lgan

masofalar yig’indisi 10 ga teng nuqtalar to’plamining tenglamasini toping.

Echish. Izlanayotgan nuqtalar to’plami berilishiga ko’ra ellipsdir va

2a  10  a  5,
c  4, b²  a²  c²
munosabatdan
b²  9, b  3. Demak,

izlanayotgan ellipsning kanonik tenglamasi quyidagicha bo’ladi:

_x 2  _y 2 


¹ .
25 9



2
_x 2  _y 2 

2.