Integralning qo'llanilishi I. Fizika fanidan.
Kuchning ishi ( A = FScos , cos 1)
F kuch ta'sir etsa , kinetik energiya doimiy bo'lib qolmaydi. Bu holda, ko'ra
d ( m2 /2) = Fds
dt vaqt davomida zarrachaning kinetik energiyasining o'sishi skalyar ko'paytmaga teng Fds , bu erda ds - dt vaqt ichida zarrachaning siljishi . Qiymat
dA = Fds
F kuchi bajargan ish deyiladi.
OX o'qiga proyeksiyasi f ( x ) ( f uzluksiz funksiya) bo'lgan kuch ta'sirida nuqta OX o'qi bo'ylab harakatlansin. Kuch taʼsirida nuqta S 1( a ) nuqtadan S 2( b ) ga oʻtdi. Segmentni [ a ; b ] bir xil uzunlikdagi n segmentga x = ( b - a )/ n . Kuchning ishi hosil bo'lgan segmentlardagi kuchning ishining yig'indisiga teng bo'ladi. Chunki f ( x ) uzluksiz, keyin kichik uchun [ a ; x 1] kuchning bu segmentdagi ishi f ( a )( x 1– a ) ga teng. Xuddi shunday, ikkinchi segmentda f ( x 1) ( x 2 - x 1), n- segmentda - f ( xn -1) ( b - xn -1). Demak, [ a ; b ] ga teng:
A An = f ( a ) x + f ( x 1) x +...+ f ( xn –1) x =
= ((b–a)/n)(f(a)+f(x1)+...+f(xn–1))
n uchun aniq bo'ladi
b
A = lim [( b – a )/ n ] ( f ( a )+...+ f ( xn –1))= f ( x ) dx (ta'rifi bo'yicha)
n a
Misol.
Qattiqligi C va uzunligi l bo'lgan prujinani uzunligining yarmiga siqilsin. Potensial energiya qiymatini aniqlang Er kuch bilan bajarilgan A ishiga teng - F ( s ) prujinaning siqilgandagi elastikligi, keyin
l / 2
E p \u003d A \u003d - (- F ( s )) dx
0
Mexanika kursidan ma'lumki, F ( s )= – Cs .
Bu erdan topamiz
l /2 l /2
En \u003d - (- Cs ) ds \u003d CS 2/2 | = C /2 l 2/4
0 0
Javob: Cl 2/8.
Massa koordinatalari markazi
Massa markazi - bu tananing har qanday fazoviy joylashuvi uchun tortishish natijasi o'tadigan nuqta.
Moddiy bir jinsli plastinka o qiyshiq chiziqli trapetsiya shakliga ega bo lsin { x ; y | a x b ; 0 y f ( x )} va y = f ( x ) funksiya [ a da uzluksiz ; b ] va bu egri chiziqli trapezoidning maydoni S ga teng bo'lsa , u holda plastinkaning massa markazining koordinatalari formulalar bilan topiladi:
bb
x0 = (1/S) xf(x)dx; y0 = (1/2S) f 2(x) dx;
a a
Misollar.
Mass markazi.
Radiusi R boʻlgan bir jinsli yarim doira massa markazini toping.
OXY koordinata tizimida yarim doira chizing .
M nuqtaning abssissasi ekanligini ta'kidlaymiz.
xm =0
Yarim doirani tavsiflovchi funktsiya quyidagi shaklga ega:
y = ( R 2– x 2)
S = R 2/2 yarim doira maydoni bo'lsin
RR
y = (1/2S) (R2–x2)dx = (1/ R2) (R2–x2)dx =
-R -R
R
= (1/ R2)(R2x–x3/3)|= 4R/3
-R
Javob: M(0; 4R/3 )
Moddiy nuqta bosib o'tgan yo'l
= ( t ) tezlik bilan harakat qilsa va vaqt ichida T = t 2– t 1 ( t 2> t 1) S yo'ldan o'tgan bo'lsa , u holda
t2 _
S = ( t ) dt .
t1 _
Geometriyada
Hajm - fazoviy jismning miqdoriy xarakteristikasi. Hajm birligi sifatida cheti 1 mm (1di, 1m va hokazo) bo'lgan kub olinadi.
Berilgan tanaga joylashtirilgan hajm birligining kublari soni tananing hajmidir.
Hajmi aksiomalari:
Hajmi - bu salbiy bo'lmagan qiymat.
Jismning hajmi uni tashkil etuvchi jismlar hajmlarining yig'indisiga teng.
Keling, hajmni hisoblash formulasini topamiz:
bu tananing joylashuvi yo'nalishi bo'yicha OX o'qini tanlang;
OX ga nisbatan tananing joylashuvi chegaralarini aniqlash;
quyidagi moslikni aniqlovchi yordamchi funksiya S ( x ) ni kiritamiz : [ a segmentidan har bir x ga ; b ] OX o'qiga perpendikulyar berilgan x nuqtadan o'tuvchi tekislik bilan ushbu rasmning ko'ndalang kesimi maydonini mos ravishda qo'yamiz .
segmentni ajratish [ a ; b ] n ta teng qismga bo'ling va har bir bo'linish nuqtasi orqali OX o'qiga perpendikulyar tekislik o'tkazing, bunda tanamiz qismlarga bo'linadi. Aksiomaga ko'ra
V=V1+V2+...+Vn=lim(S(x1) x +S(x2) x+...+S(xn) x
n
x 0 va Sk Sk +1 va ikkita qo'shni tekislik orasiga o'ralgan qismning hajmi silindr V c \u003d S asosiy H hajmiga teng .
Bizda bo'linish bosqichi bo'yicha bo'linish nuqtalarida funktsiya qiymatlari mahsuloti yig'indisi bor, ya'ni. integral miqdori. Aniq integralning ta'rifiga ko'ra, bu yig'indining n dagi chegarasi a integral deb ataladi.
S ( x ) dx
b
a
V = S ( x ) dx , bu erda S ( x ) - tekislikning o'tadigan qismi
b OX o'qiga perpendikulyar tanlangan nuqta.
Ovozni topish uchun sizga kerak bo'ladi:
1). OX o'qini qulay tarzda tanlang.
2). Ushbu jismning o'qga nisbatan joylashuvi chegaralarini aniqlang.
3). Berilgan jismning OX o‘qiga perpendikulyar bo‘lgan va mos nuqtadan o‘tuvchi tekislik kesimini tuzing.
4). Berilgan qismning maydonini ifodalovchi funktsiyani ma'lum miqdorlar bilan ifodalang.
5). Integral hosil qiling.
6). Integralni hisoblab bo'lgach, hajmni toping.
Aylanish figuralarining hajmi
Yassi figuraning qandaydir o'q atrofida aylanishi natijasida olingan jismga aylanish figurasi deyiladi.
Aylanish figurasining S ( x ) funksiyasi aylanaga ega.
S sek \u003d r 2
S sek (x) \u003d f 2 (x)
b
V= f2(x)
a
Yassi egri chiziqning yoy uzunligi
Segmentda bo'lsin [ a ; b ] y = f ( x ) funksiya uzluksiz hosila y ' = f '( x ) ga ega. Bunda y = f ( x ), x [ a funktsiya grafigining "bo'lagi" ning yoy uzunligi l ; b ] formuladan topish mumkin
b
l = (1+ f '( x )2) dx
a
Adabiyotlar ro'yxati M.Ya.Vilenkin, O.S.Ivashev–Musatov, S.I.Shvartsburd, “Algebra va matematik analiz”, Moskva, 1993 y.
"Matematik tahlil muammolari to'plami", Moskva, 1996 yil.
I.V.Savelyev, “Umumiy fizika kursi”, 1-jild, Moskva, 1982 y.
