Интеграл и его применение

Integral va uning qo'llanilishi
Insho
Vladimir 2002 yil
Vladimir davlat universiteti, Umumiy va amaliy fizika kafedrasi
Kirish
Integral belgisi 1675 yildan beri kiritila boshlandi, integral hisoblash masalalari esa 1696 yildan beri ko'rib chiqila boshlandi. Garchi integral asosan matematiklar tomonidan o'rganilsa-da, bu fanga fiziklar ham hissa qo'shgan. Fizikaning deyarli hech bir formulasi differentsial va integral hisoblarsiz to'liq emas. Shuning uchun men integral va uning qo'llanilishini o'rganishga qaror qildim.
Integral hisoblar tarixi
Integral tushunchasining tarixi kvadraturalarni topish masalalari bilan chambarchas bog'liq. Qadimgi Yunoniston va Rim matematiklari u yoki bu tekis figuralarni kvadratga solish vazifalarini maydonlarni hisoblash vazifalari deb atashgan. Lotincha quadratura so'zi "kvadrat" deb tarjima qilinadi. Maxsus atamaga bo'lgan ehtiyoj qadimgi davrlarda (keyinroq, 18- asrgacha) haqiqiy sonlar haqidagi g'oyalar hali etarli darajada rivojlanmaganligi bilan izohlanadi. Matematiklar o'zlarining geometrik analoglari yoki ko'paytirib bo'lmaydigan skalarlar bilan ishlaganlar. Shuning uchun, maydonlarni topish bo'yicha vazifalar, masalan, quyidagicha shakllantirilishi kerak edi: "Ma'lum doiraga o'lchami teng bo'lgan kvadratni qurish". (Ma'lumki, "aylana kvadrati" klassik muammosini kompas va to'g'ri chiziq yordamida hal qilib bo'lmaydi.)
Belgini Leybnits (1675) kiritgan. Bu belgi lotincha S harfining o'zgarishi ( summ a so'zining birinchi harfi ). Integral so'zining o'zi J. Ber tomonidan yaratilgan u l l i (1690) . Bu , ehtimol , lotincha integrodan kelib chiqqan bo'lib , tarjimada avvalgi holatiga qaytarish, tiklash degan ma'noni anglatadi . (Haqiqatan ham, integratsiya operatsiyasi differentsiallash orqali integratsiya olinadigan funktsiyani " qayta tiklaydi " .) Balki integral atamasining kelib chiqishi boshqacha bo'lishi mumkin: integer so'zi butun degan ma'noni anglatadi.
Yozuvlar davomida I. Bernulli va G. Leybnits J. Bernulli taklifiga rozi bo'lishdi . Keyin, 1696 yilda matematikaning yangi bo'limining nomi paydo bo'ldi - integral hisob ( calculus integralis ), I. Bernoulli tomonidan kiritilgan.
Integral hisob bilan bog'liq boshqa mashhur atamalar ancha keyin paydo bo'lgan. Hozirda ishlatilayotgan antiderivativ funktsiya nomi Lagrange (1797) tomonidan kiritilgan avvalgi "ibtidoiy funktsiya" o'rnini egalladi . Lotin so'zi primitivus " boshlang'ich " deb tarjima qilinadi : F ( x )= f ( x ) dx f ( x ) uchun boshlang'ich (yoki boshlang'ich yoki antiderivativ) F ( x ) dan farqlash yo'li bilan olinadi .
f (x) funksiya uchun barcha anti hosilalar to‘plami noaniq integral deb ham ataladi. Ushbu kontseptsiyani Leybnits ajratib ko'rsatdi, u barcha ibtidoiy funktsiyalar ixtiyoriy doimiy bilan farq qilishini payqadi . b
A f ( x ) dx
a
aniq integral deb ataladi ( belgilash C. Furier (1768-1830) tomonidan kiritilgan , ammo integratsiya chegaralari allaqachon Eyler tomonidan ko'rsatilgan ).
Qadimgi Yunoniston matematiklarining tekis figuralarning kvadraturalarini (ya'ni, maydonlarni hisoblash ), shuningdek jismlarning kubaturasini (hajmlarini hisoblash) topish muammolarini hal qilishda ko'plab muhim yutuqlari Evdoks Knidskiy tomonidan taklif qilingan charchash usulidan foydalanish bilan bog'liq. (taxminan miloddan avvalgi 408-355 yillar). .e.). Bu usul yordamida Evdoks, masalan, ikki doiraning maydonlari ularning diametrlarining kvadratlari bilan bog'liqligini va konusning hajmi bir xil asos va balandlikka ega bo'lgan silindr hajmining 1/3 qismiga teng ekanligini isbotladi. .
Evdoks usulini Arximed takomillashtirgan. Arximed usulini tavsiflovchi asosiy bosqichlar : 1) aylananing maydoni uning atrofida tasvirlangan har qanday muntazam ko'pburchakning maydonidan kichik, lekin har qanday chizilgan ko'pburchakning maydonidan katta ekanligi isbotlangan; 2) tomonlar soni cheksiz ikki baravar ko'payishi bilan bu ko'pburchaklarning maydonlaridagi farq nolga intilishlari isbotlangan; 3) aylananing maydonini hisoblash uchun oddiy ko'pburchak maydonining nisbati uning tomonlari sonining cheksiz ikki baravar ko'payishi bilan moyil bo'lgan qiymatni topish qoladi.
Charchash usuli va boshqa bir qator aqlli fikrlar (shu jumladan mexanika modellarini o'z ichiga olgan) yordamida Arximed ko'plab muammolarni hal qildi. U raqamni taxmin qildi (3.10/71 << 3.1/7), shar va ellipsoidning hajmlarini, parabola segmentining maydonini va boshqalarni topdi. Arximedning o'zi bu natijalarni yuqori baholadi: uning xohishiga ko'ra , Arximed qabriga silindrga yozilgan to'p o'yilgan (Arximed bunday sharning hajmi silindr hajmining 2/3 qismiga teng ekanligini ko'rsatdi).
Arximed integral hisoblashning ko'plab g'oyalarini oldindan bilgan. (Qo'shimcha qilaylikki, amalda birinchi chegara teoremalari u tomonidan isbotlangan.) Lekin bu fikrlar aniq ifodasini topib, hisob darajasiga olib kelguniga qadar ming yarim yildan ko'proq vaqt kerak bo'ldi.
17- asr matematiklari Arximed asarlaridan saboq oldilar. Yana bir usul ham faol qo'llanilgan - bo'linmaslar usuli ham qadimgi Yunonistonda paydo bo'lgan (bu birinchi navbatda Demokritning atomistik qarashlari bilan bog'liq). Masalan, ular f (x) uzunlikdagi vertikal segmentlardan tashkil topgan egri chiziqli trapezoidni tasavvur qildilar (1-rasm, a) , shunga qaramay, ular cheksiz kichik qiymatga teng bo'lgan maydonni f ( x) dx bilan bog'lashdi . Ushbu tushunchaga muvofiq, talab qilinadigan maydon summaga teng deb hisoblangan
S = f ( x ) dx
a < x < b
cheksiz sonli cheksiz kichik maydonlar. Ba'zan hatto bu yig'indidagi alohida atamalar nol, lekin cheksiz sonda qo'shilib, aniq belgilangan ijobiy yig'indini beradigan maxsus turdagi nollar ekanligi ta'kidlangan.
I. Kepler (1571-1630) "Yangi astronomiya" asarida hozirda hech bo'lmaganda shubhali bo'lib ko'rinadigan bunday asosda .

1-rasm.
(1609) va "Sharob bochkalarining stereometriyasi" (1615) bir qator maydonlarni (masalan, ellips bilan chegaralangan raqamning maydoni) va hajmlarni (tana 6 ec ga kesilgan, albatta) to'g'ri hisoblab chiqdi. yupqa plitalar). Bu tadqiqotlarni italyan matematiklari B.Kavalyeri (1598-1647) va E.Torricelli (1608-1647) davom ettirdilar. B. Kavalyeri tomonidan shakllantirilgan, u tomonidan ba'zi qo'shimcha taxminlar ostida kiritilgan tamoyil bizning davrimizda ham o'z ahamiyatini saqlab qoldi.
y = f ( x ) va y = f ( x ) + c tenglamalariga ega bo'lgan 1b-rasmda ko'rsatilgan rasmning maydonini topish talab qilinsin .
Kavalyeri terminologiyasida "bo'linmas" dan tashkil topgan raqamni ifodalovchi cheksiz yupqa ustunlar, ularning barchasi umumiy uzunlikka ega ekanligini ko'ramiz c. Ularni vertikal yo'nalishda harakatlantirib, biz ulardan asosi b - a va balandligi c bo'lgan to'rtburchaklar yasashimiz mumkin. Shuning uchun, kerakli maydon hosil bo'lgan to'rtburchakning maydoniga teng, ya'ni.
S \u003d S 1 \u003d c ( b - a).
Tekis figuralarning maydonlari uchun umumiy Kavalyeri printsipi quyidagicha tuzilgan: ma'lum bir parallellar to'plamining chiziqlari F1 va F2 figuralarini teng uzunlikdagi segmentlar bo'ylab kesishsin (1-rasm, s). U holda F1 va F2 raqamlarning maydonlari teng bo'ladi.
Shunga o'xshash printsip stereometriyada ishlaydi va hajmlarni topishda foydalidir .
17 - asrda integral hisoblash bilan bog'liq ko'plab kashfiyotlar qilingan. Shunday qilib, P. Fermat allaqachon 1629 yilda y \u003d x n har qanday egri chiziqni kvadratga solish muammosi , bu erda n - butun son (ya'ni, u mohiyatan x ndx \u003d (1 / n + 1) x n + 1 formulasini olgan ) , va shunga asoslanib, tortishish markazlarini topish bo'yicha bir qator masalalar hal qilindi. I. Kepler o'zining mashhur sayyoralar harakati qonunlarini chiqarishda, aslida, taxminiy integratsiya g'oyasiga tayangan. Nyutonning ustozi I. Barrou (1630-1677) integratsiya va differensiatsiya o'rtasidagi bog'liqlikni tushunishga yaqinlashdi. Funksiyalarni daraja qatorlari shaklida tasvirlash bo'yicha ishlar katta ahamiyatga ega edi.
17- asrning juda ixtirochi matematiklari tomonidan olingan natijalarning barcha ahamiyatiga qaramay , hisob hali mavjud emas edi. Ko'pgina xususiy muammolarni hal qilish asosidagi umumiy g'oyalarni ajratib ko'rsatish, shuningdek, differensiallash va integratsiya operatsiyalari o'rtasidagi bog'liqlikni o'rnatish kerak edi, bu juda umumiy algoritmni beradi. Bu Nyuton va Leybnits tomonidan amalga oshirildi, ular Nyuton-Leybnits formulasi deb nomlanuvchi faktni mustaqil ravishda kashf etdilar. Shunday qilib, umumiy usul nihoyat shakllandi. Biz hali ko'p funktsiyalarning antiderivativlarini qanday topishni, mantiqiy yangi hisoblarni berishni va hokazolarni o'rganishimiz kerak edi. Lekin asosiy narsa allaqachon bajarilgan edi: differensial va integral hisoblar yaratilgan.
Keyingi asrda matematik tahlil usullari faol rivojlandi (birinchi navbatda elementar funksiyalarning integrasiyasini tizimli o‘rganishni yakunlagan L. Eyler va I. Bernullilarning nomlarini aytib o‘tish lozim). Rus matematiklari M.V.Ostrogradskiy (1801-1862), V.Ya. Ayniqsa, elementar funktsiyalarda ifodalab bo'lmaydigan integrallar mavjudligini isbotlagan Chebishevning natijalari fundamental ahamiyatga ega edi.
Integral nazariyasining qat'iy ekspozitsiyasi faqat o'tgan asrda paydo bo'ldi. Bu masalani yechish eng buyuk matematiklardan biri O. Koshi, nemis olimi B. Riman (1826-1866), fransuz matematigi G. Darbu (1842-1917) nomlari bilan bog‘liq.
Raqamlar maydonlari va hajmlarining mavjudligi bilan bog'liq ko'plab savollarga javoblar K. Jordan (1838-1922) tomonidan o'lchov nazariyasi yaratilishi bilan olingan.
1875-1941 ) va A. Denjoy ( 1884-1974 ), sovet matematigi A. Ya. Xinchinchin ( 1894 ) tomonidan taklif qilingan edi. -1959).