Интеграл и его применение

Integralning ta'rifi va xossalari
Agar F ( x ) J oraliqdagi f ( x ) funksiyaning anti hosilalaridan biri bo lsa , bu oraliqdagi anti hosila F ( x )+ C ko rinishga ega bo ladi , bunda C R.
Ta'rif. J oraliqdagi f ( x ) funksiyaning barcha anti hosilalari to‘plami f ( x ) funksiyaning shu oraliqdagi aniq integrali deyiladi va belgilanadi. f ( x ) dx .
 f ( x ) dx = F ( x )+ C , bu erda F ( x ) J oralig'ida qandaydir antiderivativdir .
f - integratsiya, f ( x ) - integratsiya, x - integrasiya o'zgaruvchisi, C - integratsiya konstantasi.
Noaniq integralning xossalari.
( f ( x ) dx ) = f ( x ) dx ,
 f ( x ) dx = F ( x ) + C , bu erda F ( x ) = f ( x )
( f ( x ) dx ) = ( F ( x )+ C ) = f ( x )
 f ( x ) dx = f ( x )+ C – iz opredeleniya.
kf (x)dx = k f (x)dx
esli k – postoyannaya i F ( x ) = f ( x ),
kf (x)dx = k F(x)dx = k(F(x)dx+C1)= k f (x)dx
( f(x)+g(x)+...+h(x) )dx = f(x)dx + g(x)dx +...+ h(x)dx
( f(x)+g(x)+...+h(x) )dx = [F (x)+G (x)+...+H (x)]dx =
= [F(x)+G(x)+...+H(x)] dx = F(x)+G(x)+...+H(x)+C=
= f ( x ) dx + g ( x ) dx +...+ h ( x ) dx , bu erda C = C 1+ C 2+ C 3+...+ Cn .
Integratsiya
jadval usuli.
O'zgartirish usuli.
Agar integral jadval integrali bo'lmasa, bu usulni qo'llash mumkin (har doim ham emas). Buning uchun sizga kerak:
integralni ikki omilga bo'lish;
yangi o'zgaruvchining ko'paytiruvchilaridan birini belgilang;
ikkinchi omilni yangi o‘zgaruvchi bilan ifodalash;
integralni yozing, uning qiymatini toping va qayta almashtirishni bajaring.
Eslatma: yangi o'zgaruvchi uchun qolgan ifoda bilan bog'langan funktsiyani belgilash yaxshiroqdir.
Misollar:
1. x (3 x 2–1) dx ;
3 x 2–1= t ( t 0) bo‘lsin, ikkala qismning hosilasi olinadi:
6 xdx = dt
xdx = dt /6
3
 dt 1 1 1 1 t 2 2 1 ———
- t 2 \u003d - t 2dt \u003d - - - - + C \u003d - 3x2-1 + C
6 6 6 3 9
2.t
sin x cos 3x dx = – t3dt = – – + C
4
cos x = t bo'lsin
-sin x dx = dt
Integratsiyani yig'indiga yoki ayirmaga aylantirish usuli:
Misollar:
sin 3x cos x dx = 1/2 (sin 4x + sin 2x) dx = 1/8 cos 4x – ¼ cos 2x + C
x4+3x2+1 1 1
———— dx = ( x2+2 – ——– ) dx = – x2 + 2x – arctg x + C
 x 2+1 x 2+1 3
Eslatma: bu misolni yechishda ko'phadlarni "burchak" qilish yaxshidir.
Qismlarda
Agar integralni berilgan shaklda olishning iloji bo'lmasa va shu bilan birga bir omilning antihosilini va boshqa omilning hosilasini topish juda oson bo'lsa, formuladan foydalanish mumkin.
(u(x)v(x))'=u'(x)v(x)+u(x)v(x)
u'(x)v(x)=(u(x)v(x)+u(x)v'(x)
Biz ikkala qismni birlashtiramiz
 u '( x ) v ( x ) dx = ( u ( x ) v ( x ))' dx – u ( x ) v '( x ) dx
u'(x)v(x)dx=u(x)v(x)dx – u(x)v'(x)dx
Misollar:
x cos (x) dx = x dsin x = x sin x – sin x dx = x sin x + cos x + C
x = u(x)
cos x = v'(x)