Informatika-matematika fakulteti

1.2-§. Chekli gruppalarni ifodalash
Ta’rif. Aytaylik G gruppa qandaydir gruppaga gomomorf bo’lsin. U holda gruppa G gruppani ifodalaydi deyiladi yoki yanada aniqroq aytganda G gruppani gruppaga gomomorf akslantirishga G gruppani gruppa ifodalaydi deb ataladi.
G gruppani chiziqli ifodalash deyilganda , n-o’lchovli (umuman olganda kompleks) vektor fazo R faraz qilinadi, bu fazoda aynimagan chiziqli operatorlar mavjud.
A chiziqli operator aynimagan deb ataladi, agar Ax=0 tenglikdan x=0 tenglik kelib chiqsa.
Bu operatorlar gruppani tashkil etadi, G gruppaga gomomorf va G gruppani ifodalaydi.
Ta’rif. n-o’lchovli (vektor) fazo R da amal qiluvchi G gruppani gruppaga gomomorf aks ettiruvchi aynimagan chiziqli operatorlar gruppasi Г ga ( gruppa orqali) G gruppani chiziqli ifodalash deb ataladi.
Ko’p hollarda operatorlar o’rniga ularning matrissalari qaraladi. Agar R fazoda bazis tanlab olinsa , u holda G gruppaning xar bir a elementiga n-tartibli aynimagan kvadratik matrissa Г(a) mos qo’yiladi , ya’ni Г(a) shunday matrissaki uning determinanti 0 ga teng emas va
Agar R fazo bir o’lchovli bo’lsa , u holda matrissa ham bir o’lchovli bo’ladi. Bu holda G ning har bir a elementiga 0 dan farqli kompleks son Г(a) mos qo’yiladi va
Bunda gruppaning birlik elementi 1 ga 1soni mos qo’yiladi Г- G gruppani bir o’lchovli ifodalash bo’lsa , va G dagi a,b elementlar qo’shma bo’lsa , u holda

Misol.
1. Ikkinchi tartibli siklik gruppaning barcha bir o’lchovli ifodalashlarini topaylik. Bund gruppa ikkita elementdan iborat: e va a bunda .
Aytaylik, Г- gruppani bir o’lchovli ifodalash bo’lsin. U holda .
Faraz qilaylik, , u holda . bo’lganligidan , demak ,ya’ni . Bu ni bir o’lchovli ikkita ifodalashni beradi.

1 1
1 -1
2. diedral gruppani bir o’lchovli tasvirlashni topaylik . Uning elementlari :

Aytaylik, Г- D ni bir o’lchovli ifodalash bo’lsin. Agar bo’lganda r va lar o’zaro qo’shma bo’lishdan va ekanligidan . Agar bo’lsa , u holda va




3. ni ikki o’lchovli ifodalashni ko’raylik. Bu gruppa to’g’ri uchburchak simmetriyalari gruppasiga izomorf bo’ladi, ya’ni bu gruppa tekislikni almashtirishlar gruppasi bo’lganligi uchun u o’zini ifodalashlardan biridir . Bu ifodalash matrissasini topaylik. Aytaylik ABC-O markazli to’g’ri uchburchak bo’lsin. O nuqtani koordinata boshiga A uchni OX o’qining musbat yo’nalishida yotadigan qilib ko’chiramiz. r orqali uchburchakni markaz atrofida ga buramiz . U xolda ga burishni ajratadi. S orqali OX o’qqa nisbatan simmetriyani belgilaymiz. Mos matrissalar
,
, , .
ko’rinishga ega bo’ladi. Bu yerda va matrissalar matrissalarni ko’paytirish natijasida xosil bo’ladi: va
4. diedral gruppani diedraning aylanishlari, ya’ni uch o’lchovli fazoning harakati deb qarash mumkin. Agar diedrning asosidagi uchburchakni uchinchi misoldagi kabi joylashtirilsa va OZ ni uchburchak tekisligiga perpendikulyar qilinsa va r-OX ni burchakka burish bo’lsa , u holda mos matrissalar quyidagi ko’rinishga ega
, , ,
, , .
Ta’rif. Aytaylik G gruppani fazodagi ifodalanishi va fazodagi ifodalanishi bo’lsin , ya’ni va izomorf . va ifodalashlar izomorf (ekvivalent) deb ataladi, agar o’rinli bo’lsa, bu yerda H- fazoni fazoga izomorf akslantirish.
tenglik ixtiyoriy element uchun ekanligini , bu esa o’z navbatida ixtiyoriy vektor uchun

ekanligini anglatadi.
fazoni fazoga H-izomorf akslantirishning kvadrat (aynimagan) matrissasi orqali berilishi mumkin. U holda ixtiyoriy uchun va matrissalar va ifodalash yoki bo’ladi.
Bu agar fazoni fazoga aynilashtirsak , u holda H matrissani bu fazodagi yangi bazisga o’tish matrissasi sifatida qarash mumkin , u holda va - turli bazislarda olingan bitta operatorning matrissalari bo’ladi.
Ta’rif. R fazoning qism fazosi A chiziqli operatorga nisbatan invariant deb ataladi, agar dan olingan ixtiyoriy x vektorning Ax obrazi ga tegishli bo’lsa.
Ta’rif. R fazodagi G gruppani Г ifodalash keltiriluvchi deyiladi, agar R da neytral ( ya’ni R fazodan 0 vektordan tuzilgan 0 o’lchovli fazodan farqli) qism fazo mavjud bo’lsa, u G ga nisbatan invariant (ya’ni barcha almashtirishlarga nisbatan invariant).
Agar bunday qism fazo bo’lmasa , u holda Г ifodalashni keltirilmaydigan deb ataladi.
Bir o’lchovli ifodalash doimo keltirilmaydigan ifodalash bo’ldi.
Yuqoridagi ning ikki o’lchovli ifodalash keltirilmaydigan ifodalash bo’lsa, ning uch o’lchovli ifodalashi keltiriladigan ifodalash bo’ladi, chunki uni bir o’lchovli va ikki o’lchovli ifodalashlar orqali berish mumkin.
Har bir chekli gruppa uchun regulyar ifodalashni qurish mumkin.
Aytaylik -G gruppaning barcha elementlari bo’lsin.
k-o’lchovli R vektor fazoni qaraylik, bu fazo bazisi elementlari bilan G gruppa elementlari o’rtasida o’zaro bir qiymatli moslik o’rnatamiz, ya’ni

G gruppani k-o’lchovli ifodalashni hosil qildik, ya’ni

ya’ni R fazoning barcha x elementlari uchun
.
G gruppani bu tarzda ifodalash regulyar ifodalash deb ataladi.
Masalan, ni regulyar ifodalash .Aytaylik a-gruppaning elementlari bo’lsin, bunda , va - bazis elementli ikki o’lchovli ifodalash fazosi hosil bo’ladi , ta’rifga ko’ra , , , va mos matrissalar
,
ko’rinishga ega .
Yuqoridagi keltirilgan misolda diedral gruppaning uchta ifodalanishini topdik : ikkita bir o’lchovli va , ,
va
, , ,
, , .
gruppada oltita funksiyasini ko’rib chiqamiz : va bu yerda - matrissa mos elementlari . Masalan

Bu funksiyalardan juft-jufti bilan skalyar ko’paytmasini topamiz. Bu yerda skalyar ko’paytmasi

bu yerda k-G gruppaning tartibi, - funksiyalar .


Analogik ravishda

hosil qilamiz.
Shuningdek

Analogik,

Demak yuqorida kiritilgan funksi yalar juft-jufti bilan ortogonal. Bu funksiyalarning skalyar kvadratlari

va

bir o’lchovli ifodaalashlar


Shuningdek

ikki o’lchovli ifodalashlar.