2-Mavzu. Yevklid fazosi. Ortogonal sistemalar. Ortogonallashtirish jarayoni 1-misol

2-Mavzu. Yevklid fazosi. Ortogonal sistemalar. Ortogonallashtirish jarayoni

1-misol. Berilgan vektorlar sistemasiga qism fazo uchun ortogonal bazis yasang:

.

Yechilishi. Dastlab vektorlar sistemasiga qurilgan qism fazoning bazisini topamiz:

.

vektorlar sistemasiga qurilgan qism fazoning bazisi bo’ladi.

Endi berilgan vektorlar sistemasini ortogonallash jarayonini qo’llash orqali ortogonallaymiz. Ortogonallash jarayonida hosil bo’ladigan ortogonal vektorlarni mos ravishda orqali belgilaymiz.

ga teng.

deb olaylik ( sifatida boshqa vektorni ham olish mumkin). U holda

ko’rinishda izlaymiz.

Shartga ko’ra bo’lgani uchun vektorni vektorga skalyar ko’paytmasini nolga tenglashtirib,

ni hosil qilamiz. Chunki, vektorlarning o’zaro skalyar ko’paytmasi

Bundan

kelib chiqadi.

Uchinchi ortogonal vektorni ko’rinishda izlaymiz.

Shartga ko’ra va bo’lgani uchun mos ravishda vektorni va vektorlarga skalyar ko’paytirib,

ni hosil qilamiz. Bundan .

Demak, , , .

2-misol. vektorning chiziqli qism fazoga ortogonal proeksiyasi va x ortogonal tashkil etuvchisini toping:

.

Yechilishi. Dastlab, chiziqli qism fazoning bazisini topamiz:

.

vektorlar sistemasiga qurilgan qism fazoning bazisi bo’ladi.

Ma’lumki, vektor ning ortogonal proeksiyasi bo’lgani uchun va x vektor ning ortogonal tashkil etuvchisi bo’lgani uchun . Shuning uchun deb olish mumkin.

Ikkinchi tomondan bo’lgani uchun ko’rinishdan yozish mumkin. Bundan ni hosil qilamiz. bo’lgani uchun va bo’ladi. Natijada quyidagi sistemani hosil qilamiz:

Demak, va kelib chiqadi.

Eslatma: nuqtadan chiziqli qism fazogacha bo’lgan masofa ga teng.

Mustaqil ishlash uchun misollar

1. 
   Berilgan vektorlar sistemasiga qism fazo uchun ortogonal bazis yasang:
   

.

2. 
   vektorning chiziqli qism fazoga ortogonal proeksiyasi va ortogonal tashkil etuvchisini toping:
   

3. 
   Ortogonallashtirish jarayoni yordamida quyidagi vektorlarga tortilgan fazoda ortogonal bazis toping:
   

.

4. 
   vektorning quyidagi vektorlarga tortilgan fazoda ortogonal to’ldiruvchisi va proyeksiyasini toping:
   

.