Ikkinchi tur egri chiziqli integral Tekis kuch maydonining bajargan ishi

Ikkinchi tur egri chiziqli integral

 

1. Tekis kuch maydonining bajargan ishi. Oxy tekislikda moddiy figurani ifodalovchi yopiq D soha berilgan bo‘lsin va har bir  nuqtadagi massaga ta’sir qiluvchi  kuch berilgan bo‘lsin. Bu holda D sohada  kuch maydoni berilgan deyiladi.

Aytaylik, kuch maydoni ta’sirida moddiy nuqta D sohada joylashgan to‘g‘rilanuvchi BC chiziq bo‘ylab harakat qilsin. Moddiy nuqtani kuch maydoni ta’sirida B nuqtadan C nuqtaga o‘tguncha bajargan A ishini topish talab qilingan bo‘lsin (3-rasm).

3-rasm

 

Masalani hal qilish uchun BC yoyni  nuqtalar yordamida ixtiyoriy ravishda n ta bo‘lakka ajratamiz. Bir xillik bo‘lishi uchun  deb belgilaylik.  nuqtaning koordinatalarini  orqali belgilab,  va   nuqtalarni to‘g‘ri chiziq kesmasi bo‘yicha tutashtirib, BC chiziqqa ichki chizilgan siniq chiziqni hosil qilamiz.  yoyda ixtiyoriy  nuqta olib kuchning bu nuqtadagi qiymatini  orqali belgilaymiz.

 to‘g‘ri chiziq kesmasida ta’sir etuvchi  kuch o‘zgarmas va u  deb olsak, u holda kuchning  to‘g‘ri chiziqli qismda bajargan ishi quyidagi formula bo‘yicha topiladi:

,                 (1)

bu yerda  vektorning uzunligi,  vektorning uzunligi,  esa  va  vektorlar orasidagi burchak.

 kuchning abssissa va ordinata o‘qlaridagi proyeksiyalarini mos ravishda  va  orqali belgilasak, u holda  va  tengliklarga ega bo‘lamiz, bu yerda  va  lar birlik vektorlar.

 va  lar  vektorning abssissa va ordinata o‘qlaridagi proyeksiyalari bo‘lgani uchun, quyidagi tenglikni yozib olamiz:  

(1) tenglikning o‘ng tomoni  va  vektorlarning skalyar ko‘paytmasi bo‘lgani uchun  tenglikni hosil qilamiz.

Yuqoridagi farazimiz bo‘yicha moddiy nuqta  kuch ta’sirida  siniq chiziq bo‘ylab, B nuqtadan C nuqtaga o‘tganda bajargan ishi quyidagicha topiladi:

               (2)

 bo‘lakchalar qancha kichik bo‘lsa,  ning qiymati kuch maydonining bajargan ishi A ga yetarlicha yaqin bo‘ladi.  bo‘lakchalarning uzunliklarining eng kattasi  deb olaylik.

Agar (2) yig‘indi  da limitga ega bo‘lib, bu limit BC yoyni bo‘laklarga bo‘lish usuliga va bo‘lakchalardan  nuqtalarni tanlab olinishiga bog‘liq bo‘lmasa, u holda bu limit kuch maydonining BC yoy bo‘ylab, B dan C ga o‘tganda bajargan ishi deb olinadi, ya’ni

.                   

Agar  yoki  bo‘lsa, u holda (2) formula o‘rniga mos ravishda quyidagi yug‘indilarga ega bo‘lamiz:

           (3).

Ko‘pgina nazariy va tatbiqiy masalalarni yechish (2) va (3) yig‘indilarni limitlarini topishga keltiriladi. Shuning uchun bunday yig‘indilarning limitlarini topishni o‘rganish katta ahamiyatga ega.