|
2. Ikkinchi tur (koordinatalar bo‘yicha) egri chiziqli integral tushunchasi. To‘g‘rilanuvchi AB yoy va unda aniqlangan funksiya berilgan bo‘lsin. AB yoyni nuqtalar yordamida ixtiyoriy ravishda n ta bo‘lakka ajratamiz (4-rasm).
4-rasm
Bo‘lishni A nuqtadan B nuqtaga qarab olib boramiz va deb olamiz. nuqtaning koordinatalarini orqali belgilab, har bir yoydan ixtiyoriy ravishda bittadan nuqtalar tanlab olib, quyidagi yig‘indini tuzamiz:
. (4)
Bu yig‘indi funksiya uchun AB yoyda x koordinatasi bo‘yicha tuzilgan integral yig‘indi deyiladi. Bu yig‘indining qiymati AB yoyni bo‘lish usuliga va bo‘lakchalardan nuqtalarni tanlab olinishiga bog‘liq. bo‘lakchalarning uzunliklarini eng kattasini deb olib, uni nolga intiltiramiz, ravshanki unda bo‘lakchalar soni n cheksiz kattalashadi.
Ta’rif. Agar da (4) integral yig‘indi chekli limitga ega bo‘lib, u AB yoyni bo‘laklarga bo‘lish usuliga va bo‘lakchalardan nuqtalarni tanlab olinishiga bog‘liq bo‘lmasa, u holda bu limit funksiyaning AB yoy bo‘ylab, x koordinata bo‘yicha ikkinchi tur egri chiziqli integrali deyiladi.
Bu holda funksiya AB yoy bo‘ylab integrallanuvchi deyiladi.
Egri chiziqli integral kabi belgilanadi. Demak, ta’rif bo‘yicha
.
Xuddi shu kabi funksiyadan y koordinata bo‘yicha olingan ikkinchi tur egri chiziqli integral quyidagicha ta’riflanadi:
Agar AB yoyda aniqlangan va funksiyalar berilgan bo‘lib, va intetgrallar mavjud bo‘lsa, u holda yig‘indi to‘la ikkinchi tur egri chiziqli integral (umumiy ko‘rinishdagi ikkinchi tur egri chiziqli integral) deyiladi va quyidagicha belgilanadi:
(5)
Agar A va B nuqtalar ustma-ust tushsa, yopiq kontur hosil bo‘ladi. Yopiq kontur bo‘yicha olingan egri chiziqli integral ko‘rinishda belgilanadi.
Birinchi bandda ko‘rilgan tekis kuch maydonining bajargan ishi A quyidagi formula bo‘yicha topiladi:
(6)
3-§. Ikkinchi tur egri chiziqli integralning asosiy xossalari
1º. Agar funksiya AB yoy bo‘ylab integrallanuvchi bo‘lsa, u holda funksiya ham AB yoy bo‘ylab integrallanuvchi bo‘lib tenglik o‘rinli.
2º. Agar va funksiyalar AB yoy bo‘ylab integrallanuvchi bo‘lsa, u holda funksiyalar ham shu yoy bo‘ylab integrallanuvchi bo‘lib, tenglik o‘rinli.
3º. (additivlik xossasi). Agar AB yoy biror C nuqta orqali AC va CB yoylarga ajratilgan bo‘lib, funksiya AC va CB yoylarning har biri bo‘ylab integrallanuvchi bo‘lsa, u holda funksiya AB yoy bo‘ylab integrallanuvchi bo‘lib, tenglik o‘rinli.
Bu xossalarning isboti ta’rifdan osongina kelib chiqadi.
4º. Agar egri chiziqli integral mavjud bo‘lsa, u holda egri chiziqli integral ham mavjud bo‘lib tenglik o‘rinli.
Haqiqatdan, B nuqtani AB yoyning boshlang‘ich nuqtasi A ni esa oxirgi nuqtasi deb hisoblasak, u holda bo‘linish nuqta nuqtadan oldin keladi va integral yig‘indidagi son songa almashib, integral yig‘indi yig‘indiga almashadi.
Bundan tenglikni hosil qilib, limitga o‘tsak
ya’ni, tenglikni hosil qilamiz.
5º. Agar funksiya yopiq L-kontur bo‘ylab integrallanuvchi bo‘lsa, u holda egri chiziqli integralning qiymati L konturdagi qaysi nuqtani boshlang‘ich nuqta (bu nuqta oxirgi nuqta ham bo‘ladi) deb olinishiga bog‘liq emas.
Isbot. A va lar teng bo‘lmagan ixtiyoriy nuqtalar bo‘lsin (5-rasm).
5-rasm
A nuqtani boshlang‘ich (va albatta oxirgi) nuqta deb, egri chiziqli integralni ko‘rsatilgan yo‘nalish bo‘yicha hisoblasak
(1)
tenglikka ega bo‘lamiz.
Agar nuqtani boshlang‘ich nuqta deb olsak, u holda
(2)
tenglikka ega bo‘lamiz.
(1) va (2) larning o‘ng tomonlari bir hil qo‘shiluvchilardan iborat. Shuning uchun chap tomonlari ham teng bo‘ladi. Demak, xossa isbotlandi.
L-o‘z-o‘zini kesmaydigan yopiq kontur bo‘lganda musbat va manfiy yo‘nalishlar hisobga olinadi.
Agar yopiq kontur bo‘ylab harakatlanma kontur bilan chegaralangan sohaning shu nuqtaga yaqin bo‘lgan qismi kuzatuvchidan chap tomonda qolsa, bunday yo‘nalish musbat yo‘nalish (28-rasm, a), agar o‘ng tomonda qolsa, bunday yo‘nalish manfiy yo‘nalish deb qabul qilinadi (6-rasm, b).
6-rasm
1. Sodda AB egri chiziqda va funksiyalar va bu egri chiziqni bo`laklarga ajratish usuli berilgan bo`lsin. Har bir bo`laklarda ixtiyoriy nuqta tanlab olib,
integral yig`indilarni tuzamiz, bu yerda va lar bilan mos ravishda yoyning x va u o`qlaridagi proeksiyalari belgilangan.
Agar da ST (P) va ST(Q) yig`indilarning limitlari mavjud bo`lsa, u holda bu limitlar P(x,y) va Q(x,y) funksiyalardan olingan ikkinchi tur egri chiziqli integrallar deyiladi va mos ravishda belgilanadi.
yig`indini Ikkinchi tur egri chiziqli integrallarning umumiy ko`rinishi deb atash va kabi yozish qabul qilingan.
2. Oddiy aniq integralga keltirish.
Agar AB egri chiziq
parametrik tenglamalar bilan berilsa, u holda ikkinchi tur egri chiziqli integral
(1)
formula bo`yicha hisoblanadi.
Agar egri chiziq tenglama bilan berilsa, (1) formula
(2)
ko`rinishni oladi.
Agar - kuch maydoni bo`lsa, bu kuchning moddiy nuqtani egri chiziq bo`ylab siljitishda bajargan ishi W ikkinchi tur egri chiziqli integral bilan ifodalanadi:
.
3. Agar P(x,y) va Q(x,y) funksiyalar uchun
(1)
shart bajarilsa, u holda ifoda biror u(x,y) funksiyaning to`la differensiali bo`ladi va integral integrallash yo`liga bog`liq bo`lmaydi, faqat A va V nuqtalarning berilishi bilan bir qiymatli aniqlanadi.
To`la differensiali bo`yicha funksiyaning o`zi
yoki
formula orqali topiladi.
4. Ikki karrali va egri chiziqli integrallarni bog`lovchi
formula Grin formulasi deyilib, bu formuladan foydalanib, D sohaning yuzini quyidagicha ifodalash mumkin:
,
bu yerda G – D sohaning chegarasi.
4-§. Ikkinchi tur egri chiziqli integralni mavjudlik sharti va uni hisoblash
Do'stlaringiz bilan baham: | 
