Ikkinchi tartibli chiziqli bir jinsli bo`lmagan differensial tenglamalar. Lagranjning o`zgarmasni variatsiyalash usuli. Reja

Yechish: Berilgan sistemaga mos bir jinsli sistema tuzib olamiz

Bu sistemaga Eyler usulini qo’llaymiz

ko’rinishdagi xususiy yechimni izlaymiz:

Bu ifodani (*) ga qo’yamiz:

Bu sistemaga mos harakteristik tenglama tuzamiz:
harakteristik tenglama


uchun α , β larni izlaymiz:


xususiy yechim.
uchun α , β larni izlaymiz:


xususiy yechim.
Demak mos bir jinsli sistemaning umumiy yechim ko’rinishi quyidagicha:

Endi bundan sistemaning umumiy yechimini topamiz:
Buning uchun mos bir jinsli sistemaning umumiy yechimidan foydalanamiz:

Bunga varriatsialash usulini qo’llaymiz:
deb olamiz. Bundan

endi hosilalarini olamiz:

Demak

Bu sistemadan va larni topamiz.

Integrallaymiz:

va larni (**) ga olib borib qo’yamiz.

Bu berilgan sistemaning umumiy yechimi.
Misol-2

Bunga mos bo’lgan bir jinsli tenglamani tuzamiz.

buning umumiy yechimini topamiz.


(9)
(7) sistemani tuzamiz.

Endi bularni integrallaymiz.

shu formulaga asosan

va larni (9) ga olib borib qo’ysak

berilgan tenglamaning umumiy yechimiga ega bo’lamiz.
O’zgarmas koeffisiyentli chiziqli differensial tenglamalar sistemasi.
Bunday sistemaning sodda ko’rinishi

dan iborat, bunda o’zgarmas sonlar. esa ko’rilayotgan oraliqda aniqlangan va uzluksiz funksiyadir.
Ma’lumki, bir jinsli bo’lmagan chiziqli differensial tenglamalar sistemasining umumiy yechimini topish uchun, unga mos bo’lgan bir jinsli chiziqli differensial tenglamalar sistemasining umumiy yechimini topishga to’g’ri keladi.
Shuning uchun ham biz dastavval o’zgarmas koeffisiyentli bir jinsli chiziqli differensial tenglamalar sistemasining umumiy yechimini kvadraturasiz topish usulini qaraymiz.
Bir jinsli, o’zgarmas koeffisiyentli chiziqli differensial tenglamalar sistemasi berilgan bo’lsin.
(2)
Ma’lumki (2) sistemani, unga ekvivalent bo’lgan bitta -tartibli differensial tenglamaga keltirish mumkin.
Shuning uchun (2) sistemasining xususiy yechimlarini
(3)
ko’rinishda izlaymiz.
Bunda va lar o’zgarmas sonlardir. Ularni shunday tanlab olamizki (3), (2) sistemani qanoatlantirsin.
Buning uchun (2) ga (3) olib borib qo’yamiz.
yoki buni ochib yozsak
(4).
Bu larga nisbatan bir jinsli algebraik tenglamalar sistemasidir.Bu sistema trivial bo’lmagan yechimga ega bulishligi uchun, uning asos determinanti nolga teng bo’lishi zarur.
(5).
(5) ga (2) sistemaga mos bo’lgan harakteristik tenglama deyiladi. Uning ildizlariga harakteristik son deyiladi.
(5) ga nisbatan n- darajali algebraik tenglamadir. (3), (2) sistemaning xususiy yechimi bo’lishligi uchun (5) harakteristik tenglamaning ildizi bo’lishi kerak.
(4) ning koeffisiyentlaridan ushbu matrisani tuzamiz
(6).
a) Faraz etaylik harakteristik tenglamaning ildizlari haqiqiy va bir-biriga teng bo’lmasin.
Agar ildizni (5) ga olib borib qo’ysak
(7)
bo’ladi.
Isbot etamizkim qiymatda (5) determinantning xech bo’lmaganda tartibli minorlaridan biri nolga teng bo’lmaydi.
Haqiqatan ham harakteristik tenglamaning oddiy ildizi bo’lgani uchun
(8)
nolga teng bo’lmaydi.
Ikkinchi tomondan
(9)
Bunda determinantdagi elementining algebraik tuldiruvchisi bo’ladi.Agar kiymatini (9) keltirib qo’ysak (8) ga asosan larning xech bo’lmaganda biri nolga teng bo’lmaydi, ya’ni (9) dagi n-1 tartibli determinantlardan xech bo’lmaganda biri nolga teng bo’lmaydi.
Bundan, (6) matrisaning rangi n-1 ga tengligi kelib chiqadi. Ya’ni (4) sistemadagi tenglamalardan biri qolganlarini natijasi ekanligi kelib chiqadi.
U holda (4) sistema trivial bo’lmagan yechimlarga ega . Lekin matrisaning rangi n-1 ga teng bo’lgani uchun, bu ildizlar bir-biridan o’zgarmas songa fark kiladi.

Bunda lar o’zgarmas sonlardir.
Agar teng deb, bu qiymatlarni (3) ga qo’ysak, harakteristik tenglamaning ildiziga mos bo’lgan (2) sistemaning xususiy yechimlari.
(10)
ga ega bo’lamiz.
Ma’lumki (2) sistemaning xususiy yechimlarini biror o’zgarmas songa ko’paytirsak, hosil bo’lgan ifoda yana berilgan sistemaning yechimi bo’ladi.
Shunga kura, harakteristik tenglamaning ildizlari uchun yuqoridagi muloxazalarni ishlatsak, sistemaning n- ta (10) ko’rinishdagi xususiy yechimlarini aniqlash mumkin.
Isbot etish mumkinkim, bu topilgan xususiy yechimlar, berilgan sistemaning fundamental yechimlar sistemasini tashkil etadi.
Misol__1'>Misol 1

harakteristik tenglama tuzamiz

b) Faraz etaylik harakteristik tenglama konpleks ildizga ega bo’lsin. Harakteristik tenglamaning koeffisiyentlari haqiqiy sonalardan iborat bo’lgani uchun u ga qo’shma bo’lgan kompleks ildizga ham ega bo’ladi..
Harakteristik tenglamaning ildiziga mos bo’lgan (2) sistemaning yechimi

kompleks son bo’lgani uchun uni ko’rinishda yozish mumkin. U holda

yechimlarga ega bulamiz. Bundan ko’rinadikim harakteristik tenglamaning bir juft kompleks ildiziga (2) sistemaning 2 ta haqiqiy yechimi mos keladi.
Misol 2




v) Faraz etaylik harakteristik tenglama karrali ildizlarga ega bulsin.
U holda sistemaning umumiy yechimini oldingi metodlar bilan topa olmaymiz. Lekin bu holda ham uning umumiy yechimini elementar funksiyalar yordamida topish mumkin.
O’zgarmas koeffisiyentli chiziqli differensial tenglamada kurgan edikim agar harakteristik tenglamaning k- karrali ildizi bulsa, tenglamaning bu ildizlariga mos bo’lgan k ta chiziqli boglik bo’lmagan yechimlari mavjud bo’ladi.
Sistema uchun kuyidagi teoremani isbotsiz keltiramiz.