Ikkinchi tartibli chiziqli bir jinsli bo`lmagan differensial tenglamalar. Lagranjning o`zgarmasni variatsiyalash usuli. Reja

Bir jinsli bo’lmagan chiziqli differenstial tenglamalar sistemasi

Bir jinsli bo’lmagan chiziqli differensial tenglamalar sistemasining sodda ko’rinishi

dan iborat.
Bunda P_ij(x) va f_i(x) lar ko’rilayotgan oraliqda x ning uzluksiz funksiyasidir (1) sistemasining koeffisiyentlaridan tuzilgan
(2)
sistemaga, (1) tenglamalar sistemasiga mos bo’lgan bir jinsli chiziqli differensial tenglamalar sistemasi deyiladi.
TEOREMA. Agar Y_i lar (1) sistemaning xususiy yechimlari bo’lsa uning umumiy yechimini topish, unga mos bo’lgan bir jinsli chiziqli differensial tenglamalar sistemasini umumiy yechimini topishga keltiriladi.
ISBOT. y_i=Y_i+z_i (3) almashtirishini olamiz bunda z_i yangi no’malum funksiya.
(3) ni (1) sistemaga qo’ysak

yoki
(4)
lekin

bo’lgan uchun (4) sistemadan
(5)
ga ega bo’lamiz. Bu esa bir jinsli chiziqli differensial tenglamalar sistemadir. Faraz etaylik (5) sistemaning umumiy yechimi

bo’lsin u vaqtda (3) ga asosan (1) sistemaning umumiy yechimi

dan iborat bo’ladi.


Sistema uchun o’zgarmaslarni variasiyalash metodi
(Lagranj metodi).


TEOREMA. Agar (1) sistemaga mos bo’lgan (2) bir jinsli chiziqli differensial tenglama sistemani umumiy yechimi ma’lum bo’lsa, (1) sistemaning umumiy yechimi kvadratura yordamida aniqlanadi.
ISBOT. Faraz etaylik (2) sistemaning umumiy yechimi
(5)
bo’lsin. Bunda c_k ni x ning funksiyasi deb c_k(x) larni aniqlash uchun (5) ni (1) ga olib borib qo’yamiz:

yoki
(6)
lar (2) sistemaning fundamental yechimlar sistemasi bo’lgani uchun kvadrat qavs ichidagi ifoda nolga teng bo’ladi u holda (6) dan bu esa larga nisbatan noma’lumli  - ta bir jinsli bo’lmagan tenglamalar sistemasidan iborat bo’lib, uning asos determinanti bo’lmagani uchun (7) sistemadan lar bir qiymatli aniqlanadi, ya’ni

bunda Vronskiy determinantining , elementining algebraik tuldiruvchisidir.
Keyingi tenglikning dan oralig’ida integrallasak
(8) .
ni (5) ga qo’ysak, (1) sistemaning umumiy yechimi

ga ega bo’lamiz. Bundagi birinchi summa (2) sistemaning umumiy yechimi bo’lib, ikkinchi summa esa (1) sistemaning xususiy yechimidir.
Misol-1