Ikkinchi tartibli chiziqli bir jinsli bo`lmagan differensial tenglamalar. Lagranjning o`zgarmasni variatsiyalash usuli. Reja

Chiziqli differenstial tenglamalar sistemasi.

TA’RIF. Chiziqli differensial tenglamalar sistemasi deb, tenglamada qatnashayotgan noma’lum funksiyalar va ularning hosilalari birinchi darajada bo’lgan tenglamalarga aytiladi.

Chiziqli differensial tenglamalar sistema (ch.d.t.s.) ning kanonik ko’rinishi

dan iborat.
Bunda lar ko’rilayotgan oraliqda x–ning uzluksiz funksiyalaridir.
sistemani vektorli ravishda
( )
ko’rinishda yozish mumkin. Bunda A(x) matrisa funksiya, f(x) vektor-funksiya.


f(x) koordinatalari, bo’lgan vektor-funksiya.
Agar sistemada, ko’rilayotgan oraliqdagi x ning hamma qiymatlari uchun bo’lsa, sistemaga birjinsli bo’lmagan chiziqli differensial tenglamalar sistemasi deyiladi.
Agar bo’lsa,

ga, birjinsli chiziqli differensial tenglamalar sistemasi deyiladi.

Bir jinsli chiziqli differensial tenglamalar sistemasi.

Bir jinsli chiziqli differensial tenglamalar sistemasi berilgan bo’lsin

Quyidagi teoremalarni osonlik bilan isbotlash mumkin.
TEOREMA 1.Agar lar (1) sistemaning yechimlari bo’lsa, u holda lar ham (1) sistemaning yechimlari bo’ladi.
TEOREMA 2. Agar va lar (1) sistemaning yechimlari bo’lsa, u holda lar ham (1) sistemaning yechimlari bo’ladi.
Faraz etaylik (1) sistemaning xususiy yechimlari
(2)
bo’lsin.
Agar bu xususiy yechimlardan tuzilgan
(3)
determinant nolga teng bo’lmasa, (2) yechimlar sistemasiga, (1) sistemaning fundamental yechimlar sistemasi (fes) deyiladi.
TEOREMA 3. Agar berilgan differensial tenglamalar sistemasining koeffisiyentlari ko’rilayotgan oraliqda uzluksiz bo’lsalar, bu holda sistemaning bu oraliqda aniqlangan fundamental yechimlar sistemasi mavjuddir.
ISBOT. sonlaridann² tasini shunday tanlab olamizki, ulardan tuzilgan determinant nolga teng bo’lmasin, ya’ni
(4)
(1) sistemaning n² ta xususiy yechimlarining shunday tanlab olamizkim, ular da boshlang’ich shartlarni qanoatlantirsin. Xususiy yechimlar ko’rilayotgan oraliqda uzluksiz funksiyalardan iborat. (4) ga asosan ulardan tuzilgan determinant nolga teng bo’lmagani uchun, bu xususiy yechimlar (1) sistemasining fundamental yechimlar sistemasini tashkil etadi.