Ikkinchi tartibli chiziqlarning umumiy tenglamalari ikkinchi tartibli chiziqlarning markazi

Ta'rif-2. Birorta yo'nalish o'ziga perpendikulyar yo'nalishga qo'shma bo'lsa,u bosh yo'nalish deyiladi.
Bu ta’rifga ko’ra yo’nalish bosh yo’nalish bo’lishi uchun u
yo’nalishga qo’shma bo’lishi kerak.Albatta, agar yo’nalish bosh yo’nalish
bo’lsa, yo’nalish ham bosh yo’nalish bo’ladi. Berilgan yo’nalishning
bosh yo’nalish bo’lish sharti

tenglikda bilan almashtirish natijasida hosil bo’ladi va
quyidagi ko’rinishda bo’ladi:
(35)
Agar maxsus yo’nalish bo’lsa,

tenglik o’rinli bo’ladi va yuqoridagi (35) shart bajarilgan.Biz bilamizki, faqat bo’lgan hollardagina ikkinchi tartibli chiziq maxsus yo’nalishga ega bo’lib, u ikkinchi tartibli chiziq uchun asimptotik yo’nalish bo’ladi. Demak yagona markazga ega bo’lmagan ikkinchi tartibli chiziqlar uchun asimptotik yo’nalish bosh yo’nalish bo’ladi. Albatta maxsus yo’nalishga perpendikulyar yo’nalish ham bosh yo’nalish bo’ladi. Boshqa bosh yo’nalishlar yo’q. Demak yagona markazga ega bo’lmagan ikkinchi tartibli chiziqlar uchun o’zaro perpendikulyar faqat ikkita bosh yo’nalish mavjuddir.
Yuqoridagi (35) tenglikda munosabatlar bajarilsa, bu
tenglik ixtiyoriy yo’nalish uchun bajariladi. Demak bu holda ixtiyoriy
yo’nalish bosh yo’nalish bo’ladi.Agar bo’lsa, (35) tenglik

ifoda uchun kvadrat tenglama bo’ladi.Bu tenglamada diskriminant uchun

munosabat o’rinli bo’lgani uchun u ikkita ildizga ega va demak ikkinchi tartibli chiziq uchun ikkita o’zaro perpendikulyar bosh yo’nalish mavjud.


4. Umumiy tenglamalarni soddalashtirish
Biz bu paragrafda umumiy

tenglama bilan berilgan ikkinchi tartibli chiziqni aniqlash va uni yasash bilan shug’ullanamiz.
1⁰ .Yagona markazga ega bo ’lgan ikkinchi tartibli chiziq tenglamasini soddalashtirish.
Bu holda parallel ko’chirish yordamida koordinata boshini ikkinchi tartibli chiziqning markaziga joylashtiramiz. Natijada tenglamada birinchi hadlar yo’qoladi. Koordinata o’qlarini o’zaro perpendikulyar bosh yo’nalishlar bo’yicha yo’naltiramiz. Yo’nalishlarning o’zaro qo’shma bo’lishi invariant xossa bo’lganligi uchun yangi koordinatalar sistemasida yo’nalishlar o’zaro qo’shma bo’ladi. Bu shart

tenglikka teng kuchlidir. Demak bu holda ikkinchi tartibli chiziqning tenglamasi
(36)
ko’rinishga keladi. Bu tenglamada koffisient esa nolga teng
bo’lishi ham, nolga teng bo’lmasligi ham mumkin. Agar koffisient esa nolga teng bo’lsa, (36) tenglama
(37)
ko’rinishga keladi. Agar A,B koffisientlar har xil ishoralarga ega bo’lsa,bu tenglama ikkita kesishuvchi to’g’ri chiziqni aniqlaydi. Koffisientlar bir xil ishoralarga ega bo’lsa, bu tenglamani bitta nuqtani aniqlaydi.
Yuqoridagi (36) tenglamada koffisient esa nolga teng bo’lmasa, (36) tenglama
(38)
ko’rinishga keladi. Bu tenglama esa koeffisientlarning ishorasiga qarab,ellipsni yoki giperbolani aniqlaydi. Demak yagona markazga ega bo’lgan ikkinchi tartibli chiziq quyidagi to’rtta chiziqlarning biridan iborat:

1.Ellips
2.giperbola;

3.ikkita kesishuvchi to’g’ri chiziq;
4.bitta nuqta .
2⁰. Yagona markazga ega bo'lmagan ikkinchi tartibli chiziq tenglamasini soddalashtirish.
Biz bu holda yangi ordinata o’qini maxsus bo’lmagan bosh yo’nalish bo’yicha yo’naltiramiz. Bu yo’nalish noasimptotik ekanligini bilamiz. Abssissa o’qi sifatida ordinata o’qi yo’nalishiga qo’shma diametrni olamiz. Yangi koordinatalar sistemasida ordinata o’qi yo’nalishi koordinatalar ega bo’ladi va bu yo’nalishga qo’shma diametr tenglamasi

ko’rinishda bo’ladi. Bu tenglama tenglamaga teng kuchli bo’lganligi uchun

munosabatlarni olamiz. Bundan tashqari

tenglikni hisobga olsak kelib chiqadi. Natijada yagona markazga ega
bo'lmagan ikkinchi tartibli chiziq tenglamasi
(39)
ko'rinishga keladi.Bu tenglamada munosabat o'rinlidir. Bu chiziq uchun

bo'lganligi uchun ,agar bo'lsa ikkinchi tartibli chiziq markazga ega bo'lmaydi,agar bo'lsa ikkinchi tartibli chiziq cheksiz ko'p markazga egava markazlar to'g'ri chiziqni tashkil qiladi.
Agar ikkinchi tartibli chiziq markazga ega bo'lmasa,yuqoridagi (39) tenglamada va ikkinchi tartibli chiziq abssissa o’qini nuqtada kesib o’tadi.
Biz koordinata boshini shu nuqtaga ko'chirib, tenglamani
(40)
ko'rinishga keltiramiz. Bu tenglamada koeffisientning ishorasi koffisient ishorasiga qarama-qarshi bo'lsa,(40) tenglama
(41)
ko'rinishga keladi.Bu tenglamada bo'lganligi uchun ,u parabolani aniqlaydi.
Agar koffisient ishorasi koffisient ishorasiga bilan bir xil bo'lsa, (41)
Tenglamada bo'lganligi uchun, u bo'sh to'plamni aniqlaydi.
Yagona markazga ega bo'lmagan ikkinchi tartibli chiziqning (39) tenglamasida koeffisient nolga teng bo'lsa, (39) tenglama
(42)
ko’rinishga keladi. Bu tenglamada a'₂₂ * 0, a'₃₃ koffisient esa nolga teng bo’lishi ham,nolga teng bo’lmasligi ham mumkin.Agar a'₃₃ koffisient esa nolga teng bo’lsa,(43) tenglama
(43)
ko’rinishga keladi va ikkita ustma-ust tushuvchi to’g’ri chiziqni aniqlaydi.