Ikkinchi tartibli chiziqlarning umumiy tenglamalari ikkinchi tartibli chiziqlarning markazi

IKKINCHI TARTIBLI CHIZIQLARNING UMUMIY TENGLAMALARI
1. Ikkinchi tartibli chiziqlarning markazi
Biz bu bobda tekislikda dekart koordinatalar sistemasida
(1)
tenglama bilan berilgan ikkinchi tartibli chiziqni tekshirish bilan shug'ullanamiz.
Bu ishni koordinatalar sistemasini o'zgartirish va (1)tenglamani soddalashtirish yordamida amalga oshiramiz. Birinchi navbatda parallel ko'chirishda (1) tenglama koeffitsientlari qanday o'zgarishini tekshiramiz. Buning uchun
(2)
formulalar yordamida almashtirishlarni bajaramiz. Bu holda koordinata o'qlarining yo’nalishlari o’zgarmaydi,faqat koordinata boshi O'(x₀,y₀) nuqtaga ko’chadi.Bu formulalardan x, y larni topib va (1) ga qo'yib
(3)
tenglamani hosil qilamiz. Bu tenglamada koeeffisientlar uchun
(4)
tengliklar o'rinli bo'lib, F(x, y) bilan (1) tenglamaning chap tomonidagi ifoda belgilangan.
Yuqoridagi (3) formulalardan ko'rinib turibdiki, paralllel ko'chirishda ikkinchi darajali hadlar oldidagi koeefisientldar o'zgarmaydi. Agar nuqtaning
koordinatalari
(5)
sistemani qanoatlantirsa, (3) tenglamada birinchi darajali hadlar qatnashmaydi.
Bundan tashqari, agar nuqtaning koordinatalari (5) sistemani
qanoatlantirsa, nuqta ikkinchi tartibli chiziq uchun simmetriya markazi
bo'ladi. Haqiqatan ham bu holda koordinatalar markazini nuqtaga
ko'chirsak, tenglamada birinchi darajali hadlar qatnashmaydi. Shuning uchun yangi koordinatalar sistemasida

tenglik o'rinli bo'ladi. Demak nuqta chiziq uchun simmetriya markazidir.
Va aksincha, agar birorta A nuqta chiziq uchun simmetriya markazi bo'lsa uning koordinatalari (5) sistemani qanoatlantirishini ko'rsatamiz. Koordinata boshini A nuqtaga joylashtirib, yangi x, y koordinatalar sistemasini kiritamiz. Agar M(x,y) nuqta chiziqqa tegishli bo'lsa,
F(x, y) = 0
tenglik o'rinli bo'ladi. Koordinata boshi simmetriya markazi bo'lgani uchun
F(-x,- y) = 0 tenglik ham o’rinli bo’ladi. Bu tengliklarni ikkinchisini birinchisidan
ayirib
a₁₂ x + a₂₃ = 0
tenglikni hosil qilamiz. Agar a₁₃, a₂₃ koeffitsientlarning kamida bittasi noldan farqli bo'lsa, bu tenglama to'g'ri chiziqni aniqlaydi, ya'ni ikkinchi tartibli chiziqning hamma nuqtalari bir to'g'ri chiziqda yotadi. Agar ikkinchi tartibli chiziq bir to'g'ri chiziqda yotmasa, bu koeffisientlarning har ikkalasi ham nolga teng bo'ladi. Bu esa A nuqtaning koordinatalari (5)sistemani qanoatlantirishini ko'rsatadi. Bu faktlarni hisobga olsak quyidagi ta'rifning geometrik ma'nosi yaxshi tushinarli bo'ladi.