Ikki oʻzgaruvchili ikkita chiziqli tenglamalar sistemasi yechimlari soni. Chiziqli tenglamalar sistemalarini yechish

Asosiy o'zgaruvchilar har doim matritsaning bosqichlarida "o'tiradilar".
Ushbu misolda asosiy o'zgaruvchilar va
Erkin o'zgaruvchilar hamma narsadir qolgan pog'onaga ega bo'lmagan o'zgaruvchilar. Bizning holatlarimizda ulardan ikkitasi bor: - erkin o'zgaruvchilar.
Endi sizga kerak hammasi asosiy o'zgaruvchilar ifodalash faqat orqali erkin o'zgaruvchilar.
Gauss algoritmining teskarisi an'anaviy ravishda pastdan yuqoriga ishlaydi.
Tizimning ikkinchi tenglamasidan biz asosiy o'zgaruvchini ifodalaymiz:
Endi birinchi tenglamani ko'rib chiqamiz:  ... Birinchidan, topilgan ifodani unga almashtiramiz:

Asosiy o'zgaruvchini erkin o'zgaruvchilar nuqtai nazaridan ifodalash qoladi:

Oxir-oqibat, biz kerakli narsani oldik - hammasi asosiy o'zgaruvchi (lar) ifodalanadi faqat orqali erkin o'zgaruvchilar:

Aslida, umumiy yechim tayyor:

Umumiy yechimni qanday qilib to'g'ri yozish kerak?
Erkin o'zgaruvchilar umumiy yechimga "o'z-o'zidan" va qat'iy ravishda o'z joylarida yoziladi. Bunday holda, erkin o'zgaruvchilar ikkinchi va to'rtinchi pozitsiyalarda yozilishi kerak:
.
Asosiy o'zgaruvchilar uchun olingan ifodalar  va, shubhasiz, siz birinchi va uchinchi pozitsiyalarda yozishingiz kerak:

Erkin o'zgaruvchilarni berish ixtiyoriy qiymatlar, siz cheksiz ko'p topishingiz mumkin shaxsiy echimlar... Eng mashhur qiymatlar noldir, chunki ma'lum bir yechim eng oson. Keling, umumiy yechim bilan almashtiramiz:

- shaxsiy yechim.
Birliklar yana bir shirin juftlik, keling ularni umumiy yechimda almashtiramiz:

- yana bir alohida yechim.
Tenglamalar sistemasi borligini ko'rish oson cheksiz ko'p echimlar(chunki biz bepul o'zgaruvchilarni bera olamiz har qanday qiymatlar)
Har bir muayyan yechim qanoatlantirishi kerak har biriga tizim tenglamasi. Bu yechimning to'g'riligini "tezkor" tekshirish uchun asosdir. Masalan, ma'lum bir yechimni oling va uni asl tizimdagi har bir tenglamaning chap tomoniga ulang:

Hamma narsa bir-biriga mos kelishi kerak. Va siz qabul qilgan har qanday aniq qaror bilan - hamma narsa ham rozi bo'lishi kerak.
Lekin, qat'iy aytganda, ma'lum bir yechimni tekshirish ba'zan aldaydi, ya'ni. ba'zi bir maxsus yechim tizimning har bir tenglamasini qondirishi mumkin, lekin umumiy yechimning o'zi aslida noto'g'ri topilgan.
Shuning uchun umumiy yechimni tekshirish yanada puxta va ishonchli. Olingan umumiy yechimni qanday tekshirish mumkin  ?
Bu oson, lekin juda qayg'uli. Siz ifodalarni olishingiz kerak Asosiy o'zgaruvchilar, bu holda  va, va ularni tizimning har bir tenglamasining chap tomoniga qo'ying.
Tizimning birinchi tenglamasining chap tomonida:


Tizimning ikkinchi tenglamasining chap tomonida:


Dastlabki tenglamaning o'ng tomoni olinadi.
4-misol
Tizimni Gauss usulida yeching. Umumiy va ikkita alohida yechim toping. Umumiy yechimni tekshiring.

Bu o'z-o'zidan hal qilish uchun misol. Aytgancha, bu erda yana tenglamalar soni noma'lumlar sonidan kamroq bo'ladi, ya'ni tizim yo mos kelmaydigan yoki cheksiz echimlar to'plami bilan darhol aniq bo'ladi. Qaror qabul qilish jarayonining o'zida nima muhim? Diqqat, yana diqqat... Toʻliq yechim va oʻquv qoʻllanmasining oxirida javob bering.
Va materialni birlashtirish uchun yana bir nechta misol
5-misol
Chiziqli tenglamalar sistemasini yeching. Agar tizimda cheksiz ko'p echimlar bo'lsa, ikkita maxsus yechim toping va umumiy yechimni tekshiring

Yechim: Keling, tizimning kengaytirilgan matritsasini yozamiz va elementar transformatsiyalardan foydalanib, uni bosqichma-bosqich shaklga keltiramiz:


(1) Birinchi qatorni ikkinchi qatorga qo'shing. Uchinchi qatorga birinchi qatorni 2 ga ko'paytiramiz. To'rtinchi qatorga birinchi qatorni 3 ga ko'paytiramiz.
(2) Uchinchi qatorga -5 ga ko'paytirilgan ikkinchi qatorni qo'shing. To'rtinchi qatorga -7 ga ko'paytirilgan ikkinchi qatorni qo'shing.
(3) Uchinchi va to'rtinchi qatorlar bir xil, biz ulardan birini o'chirib tashlaymiz.
Mana shunday go'zallik:

Asosiy o'zgaruvchilar pog'onada joylashgan, shuning uchun asosiy o'zgaruvchilar.
Bu erda bir qadam qo'ymagan faqat bitta bepul o'zgaruvchi bor:
Orqaga:
Asosiy o‘zgaruvchilarni erkin o‘zgaruvchi ko‘rinishida ifodalaymiz:
Uchinchi tenglamadan:

Ikkinchi tenglamani ko'rib chiqing va unga topilgan ifodani almashtiring:


Birinchi tenglamani ko'rib chiqing va topilgan iboralarni almashtiring va unga:

Ha, oddiy kasrlarni hisoblaydigan kalkulyator hali ham qulay.
Shunday qilib, umumiy yechim:

Yana bir bor, bu qanday paydo bo'ldi? Erkin o'zgaruvchi o'zining to'rtinchi o'rnida yolg'iz o'tiradi. Asosiy o‘zgaruvchilar uchun hosil bo‘lgan ifodalar ham o‘z tartib o‘rinlarini egallagan.
Keling, darhol umumiy yechimni tekshirib ko'raylik. Qora tanlilar uchun ishlang, lekin men buni allaqachon qildim, shuning uchun tuting =)
Biz tizimning har bir tenglamasining chap tomonida uchta qahramonni almashtiramiz:




Tenglamalarning mos keladigan o'ng tomonlari olinadi, shuning uchun umumiy yechim to'g'ri topiladi.
Endi topilgan umumiy yechimdan  Biz ikkita maxsus yechimni olamiz. Bu erda faqat bepul o'zgaruvchi - oshpaz. Miyangizni sindirishingiz shart emas.
Mayli, unda  - shaxsiy yechim.
Mayli, unda  - yana bir alohida yechim.
Javob: Umumiy qaror:  , maxsus echimlar:  , .
Bu yerda qora tanlilar haqida eslamasligim kerak edi... ... chunki miyamga har xil sadistik niyatlar kirib keldi va men taniqli fototoadni esladim, unda oq xalat kiygan klanlar dala bo'ylab yugurib ketishadi. qora futbolchi. Men jimgina jilmayib o'tiraman. Bilasizmi, qanday chalg'itadi ...
Ko'p matematika zararli, shuning uchun o'zingizning yechimingiz uchun shunga o'xshash yakuniy misol.
6-misol
Chiziqli tenglamalar sistemasining umumiy yechimini toping.

Men allaqachon umumiy yechimni tekshirdim, javobga ishonish mumkin. Sizning qaror yo'nalishingiz mening qarorimdan farq qilishi mumkin, asosiysi umumiy qarorlar bir-biriga to'g'ri keladi.
Ehtimol, ko'pchilik yechimlarda noxush lahzani payqashgandir: ko'pincha Gauss usulining teskari kursida biz oddiy kasrlar bilan skripka qilishimiz kerak edi. Amalda, bu to'g'ri, kasrlar bo'lmagan holatlar kamroq uchraydi. Ruhiy va eng muhimi, texnik jihatdan tayyor bo'ling.
Yechilgan misollarda topilmagan yechimning ba'zi xususiyatlariga to'xtalib o'taman.
Tizimning umumiy yechimiga ba'zan doimiy (yoki doimiylar) kirishi mumkin, masalan:. Bu erda asosiy o'zgaruvchilardan biri doimiy songa teng:. Bunda ekzotik narsa yo'q, bu sodir bo'ladi. Shubhasiz, bu holda har qanday maxsus yechim birinchi holatda A ni o'z ichiga oladi.
Kamdan-kam hollarda, lekin tizimlar mavjud tenglamalar soni o'zgaruvchilar sonidan kattaroqdir... Gauss usuli eng og'ir sharoitlarda ishlaydi, siz xotirjamlik bilan tizimning kengaytirilgan matritsasini standart algoritmga muvofiq bosqichma-bosqich shaklga keltirishingiz kerak. Bunday tizim nomuvofiq bo'lishi mumkin, u cheksiz ko'p echimlarga ega bo'lishi mumkin va, g'alati, bitta yechimga ega bo'lishi mumkin.
Aytaylik, siz x va y o'zgaruvchilarning tenglamani qanoatlantiradigan barcha juft qiymatlarini topmoqchisiz.
xy - 6 = 0 va y - x - 1 = 0 tenglama, ya'ni bu tenglamalar yechimlari to'plamlarining kesishishini topish kerak. Bunday hollarda xy - 6 = 0 va y - x - 1 = 0 tenglamalar tizimini yechish kerakligini aytadilar.
Tenglamalar tizimi odatda jingalak qavslar yordamida yoziladi. Masalan, ko'rib chiqilayotgan tenglamalar tizimini quyidagicha yozish mumkin:
(xy - 6 = 0,
(y - x - 1 = 0.
Tizimdagi har bir tenglamani haqiqiy tenglikka aylantiradigan o'zgaruvchilarning juft qiymatlari ikkita o'zgaruvchidagi tenglamalar tizimining yechimi deb ataladi.
Tenglamalar sistemasini yechish deganda uning ko‘pgina yechimlarini topish tushuniladi.
Har bir tenglamadagi koeffitsientlardan kamida bittasi nolga teng bo'lmagan ikkita o'zgaruvchiga ega ikkita chiziqli tenglamalar tizimini ko'rib chiqing.
Ushbu turdagi tizimlarning grafik yechimi ikkita to'g'ri chiziqning umumiy nuqtalarining koordinatalarini topishga qisqartiriladi.
Ma'lumki, tekislikdagi ikkita to'g'ri chiziq kesishishi yoki parallel bo'lishi mumkin. Parallellik holatida chiziqlar umumiy nuqtalarga ega emas yoki mos keladi.
Keling, ushbu holatlarning har birini ko'rib chiqaylik.