Ii. Asosiy qism: Ildizlar ajratish

Teorema. Agar funksiya da uzluksiz bo’lib, oraliqning oxirlarida turli ishorali qiymatlarni qabul qilsa, u holda tenglamaning bu oraliqda hech bo’lmaganda bitta ildizi bor. Agar mavjud bo’lib, u da ishorasini saqlasa, u holda da ning ildizi yagonadir.
Teorema. funksiya da analitik bo‘lib,
shart o‘rinli bo‘lsa, tenglamaning da yotadigan ildizlari soni toqdir.

Algebraik tenglamalarning haqiqiy ildizlarini ajratish.

Algebraik
(1)
tenglama ildizlarining soni va ularni ajratish masalasini ko‘raylik. Dekart teoremasi. Karraliklarining karrasi bilan hisoblaganda (1) tenglamaning musbat ildizlari soni
(2)
koeffitsiyentlar sistemasida (nolga teng koeffitsiyentlar e ’tiborga olinmaydi) ishora almashtirish soniga teng yoki undan juft songa kamdir. Gyua teoremasi. (1) tenglamaning koeffitsiyentlari haqiqiy bo’lib, uning barcha ildizlari haqiqiy bo’lsa, koeffitsintlar uchun

tengsizliklar o‘rinli.
tenglamada deb hisoblaymiz.
Teorema 1. Agar

Bo’lsa, u holda (1) tenglamaning barcha ildizlari

halqa ichida yotadi.
Isboti. Faraz qilaylik bo’lsin. Modulning xossasiga
Agar deb olsak, u holda tengsizlik kelib chiqadi, ya’ni ning shunday qiymatlarida ko‘phad nolga
aylanmaydi, demak tenglamaning ildizi yo‘q. tengsizlikning chap tomonini ko‘rsatish uchun deb, ga ega bo‘lamiz, bu yerda . Yuqorida isbot qilinganiga ko’ra, g(y) ko‘phadning ildizlari

Tengsizlikni qanoatlantiradi,bundan esa

kelib chiqadi.
Bu teoremadagi r va R - (1) tenglama musbat ildizlarining mos ravishda quyi va yuqori chegaralaridir. Xuddi shuningdek, -R va –r- manfiy ildizlarning mos ravishda quyi va yuqori chegarasi bo‘ladi.