Ii. Asosiy qism: Ildizlar ajratish

Teorema. Faraz qilaylik, funksiya va boshlang‘ich yaqinlashish quyidagi shartlami qanoatlantirsin:
1) funksiya
oraliqda aniqlangan bo‘lib, bu oraliqdan olingan ixtiyoriy ikkita va nuqtalar uchun Lipshits shartini qanoatlantirsin:
(4)
(5)
2) quyidagi tengsizliklar bajarilsin:
(6)
U holda tenglama oraliqda yagona ildizga ega bo‘lib,
ketma-ketlik bu yechimga intiladi va intilish tezligi
(7)
tengsizlik bilan aniqlanadi.
Isboti. Ixtiyoriy n uchun ni qurish mumkinligini va (4)oraliqda yotishligi hamda
(8)
tengsizlik bajarilishini induksiya metodi bilan ko‘rsatamiz. Agar n=0 bo‘lsa, bo‘lgani uchun (8)dan (6) hosil bo‘ladi, ya’ni

bo’ladi, bundan esa

hosil bo’lib , (4) oraliqda yotishligini ko‘rsatadi. Faraz qilaylik
lar qurilgan bo’lib, ular (4) oraliqda yotsin va

tengsizliklar bajarilsin. Induksiya shartiga ko‘ra, (4)da yotadi, (4)da aniqlangan, shuning uchun ham ni qurish mumkin. Teoremaning birinchi shartidan

kelib chiqadi. va uchun induksiya shartiga ko’ra, o’rinli ,demak . Bu lar uchun ifoda o ‘rinliligini ko‘rsatadi.

Tengsizlik (4)oraliqda yotishini ko’rsatadi.
Endi ketma-ketlik fundamentalhgini ko‘rsatamiz. (8) tengsizlikka ko‘ra, ixtiyoriy p natural son uchun

yoki
(9)
Bu tengsizlikning o ‘ng tomoni p ga bog‘liq emasligidan va
bo‘lganidan ketma-ketlikning fundamentalligi va uning limiti mavjudligi kelib chiqadi. ketma-ketlik (4) oraliqda yotganligi uchun ham shu oraliqda yotadi. (5) shartdan
ning uzluksizligi kelib chiqadi, shuning uchun ham tenglikda limitga o ‘tib, (1) tenglamaning ildizi ekanligini ko‘ramiz.
Topilgan ildiz yagonadir. Faraz qilaylik, (1) tenglamaning (4)
oraliqdagi boshqa ildizi bo’lsin. (5) ga ko‘ra,

bo’lganligi uchun bu munosabat bo’lsagina bajariladi.
(9) tengsizlikda limitga o ‘tsak, (7) tengsizlik kelib chiqadi. Teorema isbot bo'ldi.
Eslatma. Faraz qilaylik, tenglamaning ildizi , yotgan
qandaydir (a,b) oraliqda ishora saqlasa va shart
o'rinli bo’lsa, u holda agar musbat bo’lsa
(10)
ketma-ketlik ga monoton yaqinlashadi, bordi-yu manfiy
boTsa, (10) ketma-ketlik ildiz atrofida tebranib unga yaqinlashadi. Haqiqatan ham, bo’lib, bo’lsin. U holda
,
bu yerda ,bundan

Demak,

matematik induksiyaga asosan

ga ega bo’lamiz.
Shunga o‘xshash natija bo’lganda ham kelib chiqadi.
Endi holni ko‘rib chiqamiz.
Faraz qilaylik, bo’lib, bo’lsin, u holda

bo’ladi,bundan va ligi kelib chiqadi.
Shu mulohazalarni yaqinlashishlar uchun qaytarsak,

hosil bo‘ladi, ya’ni ketma-ket yaqinlashishlar atrofida tebranib, unga yaqinlashadi.
Bu ikkala holning geometrik talqinini quyidagi rasmda izohlaymiz.

Nyuton metodi.Faraz qilaylik,

(1)
tenglamaning oraliqdagi yagona ildizi bo‘lsin. va
lar noldan farqli bo‘lib, da ishora saqlasin.
bo‘lib, ning taqribiy qiymati bo‘lsin, ya’ni
(2)
xatolik va uni kichik miqdor bo‘lsin deb hisoblaymiz. Teylor
formulasiga asosan

taqribiy tenglikka ega bo’lamiz, Bundan bo’lganligi
uchun (2) dan ildizning navbatdagi taqribiy qiymatiga ega bo’lamiz:
(3)
(3) ketma-ketlikni qurishda boshlang‘ich yaqinlashish
bo‘lib, shartni qanoatlantirishi maqsadga muvo-
fiqdir.
(3) ketma-ketlikning geometrik talqini quyidagidan iborat:
ning qiymati y= f(x) funksiya grafigining
nuqtasiga o ‘tkazilgan urinmaning OX o‘qi bilan kesishgan nuqtasining abssissasiga tengdir. Shuning uchun ham Nyuton mefodi urinmalar metodi deb ham ataladi.
(3) formula bilan topilgan ketma-ketlik (1) tenglamaning ildizi
ga boshlang‘ich yaqinlashish o‘ng tomondan monoton yaqinlashishini quyidagi rasmdan ko‘rish mumkin.

Nyuton metodining yaqinlashish tezligini quyidagicha baholash

mumkin. Teylor formulasidan

buyerda , va oralig‘ida joylashgan.
Bundan,
Demak,

Agar va ni o’z ichiga olgan hamda ishorasini o ‘zgartirmaydigan oraliq bo‘lsa, u
holda

ga ega bo‘lamiz. Bu Nyuton metodining yaqinlashish tezligini
ko‘rsatadi.