Ii. Asosiy qism: Ildizlar ajratish

Eslatma. Agar iteratsiya usulda

deb olsak, Nyuton metodi hosil bo‘ladi.
Agar [a,b] da kam o‘zgarsa, u holda (3) formulada
deyish mumkin va natijada Nyuton metodining
modifikatsiyasi
(4)
hosil boiadi. (4) formula bilan hisoblash jarayoni o‘tkazilsa, har bir qadamda ning qiymatini hisoblanmaslik qulaylik tug‘diradi. Bu qulaylik, ayniqsa murakkab bo’lganda yaqqol seziladi.
Yuqori tartibli iteratsion metod qurishda Chebishev metodi.
Faraz qilaylik, tenglamani [a,b] da yagona ildizi
mavjud bo’lsin va funksiya hamda uning yetarlicha yuqori
tartibli hosilalari uzluksiz bo’lsin. Bundan tashqari, da
bo’lsin. U holda bu oraliqda ishora saqlaydi va
monoton funksiya bo‘lib, teskari fimksiyaga ega bo‘ladi.
Teskari funksiya ning o‘zgarish sohasi [c,d] da aniq-
langan bo’lib, qancha uzluksiz hosilaga ega bo’lsa, u ham shuncha uzluksiz hosilaga ega bo’ladi. Teskari funksiya ta’rifiga ko‘ra,

Demak ,
(1)
Agar bo’lsa,u holda Teylor formulasidan
(2)
bu yerda (2) da va ni nazarda tutib ,

ni hosil qilamiz. Agar

deb belgilasak , u holda

tenglama uchun yechim bo’ladi, chunki
.
Bundan
,
bo’lganligi sababli
(4)
iteratsion jarayon p-tartibli deyiladi. Agar ga yaqin bo’lsa, u
holda (4) bilan aniqlangan ketma-ketlik ga yaqinlashadi.
Haqiqatan ham bo’lganligi uchun ning shunday atrofi
topiladiki, u yerda bo ‘ladi. Bundan ga yetarlicha
yaqin bo‘lsa, iteratsion ketma-ketlikning yaqinlashishi kelib
chiqadi.
Endi dan ketma-ket hosila olamiz:

… … … … … …
Bundan ketma-ket larni va
shu bilan birga ni aniqlaymiz. (4) iteratsion jarayonni p ning bir nechta konkret qiymatlarida ko‘rinishini keltiramiz:

Bular mos ravishda 2-, 3- va 4-tartibli iteratsion jarayonlardir.

XULOSA
Algebraik va transtendent tenglamalarni yechishni analitik, grafik va sonli usullarini ko’rib chiqdik. Har bir usulning o’ziga xos afzallik, nuqsoni va kamchiliklari mavjudligiga amin bo’ldik. Masalan, grafik usulda berilgan funksiyadan foydalanib, qaysi oraliqda yechim bor yoki yo’q ekanligini va nechta ildizi mavjud ekanligini tahlil qildik .Ya’ni Ox o’qini kesib o’tgan nuqtalar berilgan tenglamaning yechimlari bo’ladi. Bu usulning ijobiy tomoni uning universalligi, istalgan turdagi tenglamaga qo’llanilishi, salbiy tomoni esa ancha sermehnat ish va odatda juda kam aniqlikda bo’lishidir. Sonli usulda iteratsiya, yarimdan bo’lish, urunmalar (Nyuton usuli) va vatarlar usullarga bo’linadi. Biz yuqorida 2 ta usulni ko’rib o’tdik. Bu iteratsiya (ketma-ket yaqinlashish) va yarimdan bo’lish usullaridir. Algebraik va transtendent tenglamalarni yechishning eng muhim usullaridan biri iteratsiya usuli Yoki ketma-ket yaqinlashish usulidir. Bu usulning asosiy afzalligi har bir qadamda bajariladigan operatsiyalar bir xilligi bo’lib, EHM lar uchun iterativ algoritmlarga asoslangan dasturlar tuzish ishini juda osonlashtiradi. Yarimdan bo’lish usulidan, foydalanib yuqori darajali tenglamalarni hisoblash mumkin. Bu usul oson bo’lishiga qaramay, bu usulda qaralayotgan [a,b] kesmani n marta ikkiga bo’lib, 2n marta kichraytiriladi. Shuning uchun, bu usulning aniqligi kamroq bo’lishi kuzatiladi. Shuning uchun chiziqli bo’lmagan tenglamalarni ko’p aniqlikda hisoblash uchun iteratsiya usulidan foydalanish qulaylik tug’diradi, ya’ni ma’qulroq.

Foydalanilgan adabiyotlar:
1. G.P.Ismatullayev , M.S.Kosbergenova “ Hisoblash usullari “ TOSHKENT-2014.
2. Isroilov M. “Hisoblash metodlari”, T., “O’zbekiston”, 2003
3. Boyzoqov A., Qayumov Sh. “Hisoblash matematikasi asoslari”,
O’quv qo’llanma. Toshkent 2000
4. Abduqodirov A.A. “Hisoblash matematikasi va programmalash”,
Toshkent. “O’qituvchi” 1989
5. Shoxamidov Sh. Sh. “Amaliy matematika unsurlari”, T.,
“O’zbekiston”, 1997
6. ВоробьеваГ.Н., “Практикум по вычислительной
математике”, Москва, «Высшая школа», 1990
7. Internet saytlari:
www.ziyonet.uz
www.arxiv.uz
www.colibri.ru