Ихтиёрий тўпламда аниқланган функциянинг текис узлуксизлиги ҳақида

Ихтиёрий тўпламда аниқланган функциянинг текис узлуксизлиги ҳақида
Б.Мамадалиев, Қўқон ДПИ катта ўқитувчиси
Р.Рахимов, Қўқон ДПИ магистранти

Бизга маълумки функциянинг узлуксизлиги, текис узлуксизлиги ва ҳосиласи математик анализнинг асосий тушунчаларидандир. Бу тушунчалар бир – бирига нисбатан турлича маънога ва улар орасидага муносабатлар ҳам турли хил характерга эгадир. Яъни, бирор тўпламда аниқланган узлуксиз функциянинг шу тўпламда текис узлуксиз бўлиши ҳар доим ҳам келиб чиқмасада, функциянинг текис узлуксиз бўлишидан ҳар доим ҳам узлуксиз бўлиши келиб чиқади. Функциянинг бирор тўпламда узлуксиз бўлишидан унинг шу тўпламнинг ҳар бир нуқтасидаги ҳосиласининг мавжудлиги ҳар доим келиб чиқмасада, функциянинг бирор тўпламдаги ҳосиласининг мавжудлигидан ҳамма вақт унинг шу тўпламда узлуксизлиги келиб чиқади.

Бу муносабатларга оид маълумотлар мавжуд дарслик ва ўқув адабиётларда етарлича берилган.
Функциянинг ихтиёрий тўпламда узлуксиз, текис узлуксиз ва ҳосиласи орасидаги муносабатлар ҳақида ҳам юқоридаги каби мулоҳазалар келтириш мумкин бўлсада, мавжуд адабиётларда бу ҳақида етарлича маълумотлар берилмаган.
Математик анализ курсидан маълумки, ёпиқ оралиқда аниқланган функция узлуксиз бўлса, бу функция шу оралиқда текис узлуксиз бўлади. ([1] Кантор теоремаси). Шунингдек, агар функциянинг ёпиқ оралиқдаги ҳосиласи мавжуд бўлса, бу ҳақда функция шу оралиқда узлуксиз ва текис узлуксиз бўлади. Бу тасдиқ ҳам функциянинг ҳосиласининг мавжудлиги ва узлуксизлиги орасидаги муносабатлардан ва Кантор теоремасидан бевосита келиб чиқади.
Аммо кўринишдаги очиқ, ярим очиқ оралиқда аниқланган функциялар учун бундай боғланишлар мавжуд адабиётларда етарлича ёритилмаган.
Мақсадимиз, ихтиёрий оралиқда аниқланган функциялар учун функциянинг текис узлукизлиги ва ҳосиласи орасидаги муносабатни ўрганиш ва шу асосда функцияларнинг узлуксизлиги, текис узлуксизлиги ва ҳосиласи орасидаги боғлиқликларни баён этишдан иборат.
Ихтиёрий тўпламда функция берилган бўлсин.
Теорема. Агар функциянинг тўпламдаги ҳосиласи мавжуд ва чегараланган бўлса, бу ҳолда функция шу тўпламда текис узлуксиз бўлади.
Исбот. функциянинг тўпламдаги ҳосиласи мавжуд ва чегараланган бўлсин. функцияни тўпламда текис узлуксиз бўлишини кўрсатамиз. Функциянинг текис узлуксизлиги билан унинг узлуксизлик модули орасидаги боғланишни ифодалайдиган теоремага [1] кўра
(1)
тенгликни ўрли бўлишини кўрсатиш етарлидир (бу ерда ).
Дифферециал ҳисобнинг асосий теоремаларидаги [1] Лагранж теоремасига кўра ( функция Лагранж теоремасининг шартларини қаноатлантиради).
(2)
бўлади. (бу ерда ёки ).
Торема шартига кўра ( -ўзгармас) чегараланган бўлгани учун (1) ва (2) ларга кўра

муносабатни ўринлиги келиб чиқади. Демак, узлуксиз модули ва текис узлуксизлик ҳақидаги теоремага [1] кўра функция тўпламда текис узлуксиз бўлади. Теорема исбот бўлади.
Бу теоремани тасдиғидан ва юқорида келтирилган мулоҳазадан келиб чиққан ҳолда функциянинг узлуксизлиги, текис узлуксизлиги ва ҳосиласи орасидаги муносабатларни схематик кўринишда қуйидагича тасвирлаш мумкин:
а) функция ёпиқ оралиқда аниқланган бўлсин.

функция да узлуксиз

функция да текис узлуксиз







функциянинг даги ҳосиласи мавжуд ва чегараланган

б) функция очиқ оралиқда аниқланган бўлсин.

функция да узлуксиз

функция да текис узлуксиз





функциянинг даги ҳосиласи мавжуд ва чегараланган

Изоҳ:  белгиси ҳамма вақт ихтиёрий функция учун келиб чиқади,  белгиси эса функциянинг берилишига боғлиқ ҳолда ё келиб чиқади ёки келиб чиқмайди деган маънони англатади.

б) ҳол функция ёки оралиқларда аниқланган ҳолларда ҳам ўринли бўлади.
Юқорида келтирилган схемадаги кўринишлар учун мисоллар келтириш мумкин.
Демак, функцияни даги ҳосиласининг мавжудлигидан функциянинг даги текис узлуксизлигини, функцияни ихтиёрий интервалдаги ёки ярим интервалдаги ҳосиласининг мавжудлиги ва чегараланганлигидан ҳам бу функциянинг шу интервалдаги ёки ярим интервалдаги текис узлуксизлиги текширишда қўллаш мумкин экан.

Фойдаланилган адабиётлар

1.Т.Азларов, Ҳ.Мансуров. Математик анализ. 1-қисм. Тошкент, “Ўқитувчи”, 1994 й.
2.Р.Турғунбоев. Математик анализ. 1-қисм. Тошкент, “Турон-Иқбол”. 2018 й.
3.М.Хушвақтов. “Математик анализ”. Тошкент. “Янгийўл полиграф сервис”. 2008 йил.
4.Ў.Тошметов, Р.Турғунбоев, Э.Саидматов, М.Мадиримов. “Математик анализ”. 1-қисм. Тошкент, “Экстремум-Пресс”, 2015.