И здан и е второе, стереотипное

§ 3. Обобщенный собственный спектр 
положительно определенного оператора
Всякий положительно определенный оператор симметричен, 
поэтому все сказанное в предшествующем параграфе справе­
дливо и для положительно определенных операторов. Но для 
этих операторов оказывается целесообразным ввести еще поня­
тие обобщенного собственного спектра — более определенно,

---

обобщенных собственных чисел и соответствующих им обобщен­
ных собственных элементов; мы введем его по аналогии с 
понятием обобщенного решения.
Пусть А — положительно определенный оператор, X — его 
собственное число и и — собственный элемент, соответствую­
щий собственному числу X. Это значит, что и ф О, u (£ D (A ) 
и имеет место тождество
Дн = Х«. 
(
1
)
Возьмем произвольный элемент т] 
НА. Умножим обе 
части равенства (
1
) скалярно на т):
(Аи, ч)) = Х(и, •»)).
В этом тождестве n ^ D (A ), 
А тогда по формуле
(3.6) гл. 5
(Дм, т)) = [и, т(]л.
Мы нашли, таким образом, что собственное число X и со­
ответствующий собственный элемент н удовлетворяют тожде­
ству
[и, T)k = X (U, 
7
j), 
(
2
)
Обратно, пусть и ^ D (А), и Ф  0, вместе с некоторым чис­
лом X удовлетворяет тождеству (2). По формуле (3.6) гл. 5
[и» т1]д = (Д«- ■*))•
Подставив это в тождество (2), получим
(Аи —- hi, Yj) = О, 
У г) 
Н А.
Итак, вполне определенный элемент Аи — Хн пространства И  
ортогонален любому элементу Tj 
Н А, но множество элемен­
тов пространства Н А плотно в исходном пространстве Н, 
а элемент, ортогональный к плотному множеству, равен нулю. 
Отсюда следует, что
Аи — Хн =
0
.
Последнее равенство означает, что и есть собственный эле­
мент, а X — собственное число оператора Д.
Элемент и 
Н А, и ф  0 и число X назовем обобщенным 
собственным элементом и обобщенным собственным ки­
слом оператора А, если они удовлетворяют тождеству (2).

---

Т е о р е м а 6.3.1. Обобщенные собственные числа и со бст­
венные элементы положительно определенного оператора 
с у т ь обычные собственные числа и собственные элементы 
для расширения этого оператора по Фридрихсу.
Д о к а з а т е л ь с т в о очень просто. Если X и и суть 
обобщенные собственное число и собственный элемент поло­
жительно определенного оператора А, то они удовлетворяют 
тождеству (
2
). Положив в его правой части Хи = /, приведем 
его к виду
h- H]A =
0
q> /). 
V ri £ Н А. 
(3)
Сравнив равенство (3) с равенством (5.5) гл. 5, видим, что 
они отличаются только обозначениями; отсюда следует, что 
элемент и, входящий в формулу (3), реализует минимум функ­
ционала
FCtO = |tiP — 2(/, 
V), 
'
Но тогда u ^ D (A ), где А — расширение оператора А  по 
Фридрихсу, и Au — f, или
Аи = Хк, 
что и требовалось доказать.
Оператор А симметричен, поэтому для обобщенных соб­
ственных чисел и собственных элементов верны теоремы 
6
.
2.1 
и 6.2.2. Отметим еще два свойства обобщенных собственных 
чисел и собственных элементов положительно определенного 
оператора; слово «обобщенные» ниже для краткости будем 
опускать.
Т е о р е м а 6.3.2. Собственные элементы положительно 
определенного оператора ортогональны в энергетическом 
пространстве, если они ортогональны в исходном про­
странстве.
Пусть н,, н
9
— два собственных элемента положительно 
определенного оператора А и пусть (их, щ) — 0. Полагая 
в тождестве (
2
) u — ult i] = ws, найдем, что [hj, «9]л =
0
.
Т е о р е м а 6.3.3. Любое собственное число положи­
тельно определенного оператора не меньше нижней грани 
этого оператора.
Пусть fo — нижняя грань оператора А. По теореме 5.7.1 
нижняя грань оператора А, полученного расширением опе­
ратора А по ФридрихСу, также равна yl- Если X и « —

---

собственное число и соответствующий ему собственный эле­
мент (оба — обобщенные) оператора Л, то по формуле