И здан и е второе, стереотипное

O f —
0. Ф о р м у л а (2) дает 
т о г д а
(и, f ) =
0 , 
и £ Н А.
Э л е м е н т / о к а зы в а е т с я о р тогон альн ы м к п л о тн о м у в 
И
м но­
ж е с т в у , а именно, к м н о ж ес тв у элем ен тов эн ер гети ч еск о го
п р о с т р а н с т в а . Н о т о г д а / = 0 .
О п е р а т о р
О
S о б р а тн ы й о п ер а то р у G, будем обозначать 
ч е р е з
А.
О чевидно, 
D (А)
=
R (О)
С
Н
а
и 
R (А) = D (О) == Н.

---

Т е о р е м а 5.7.1. 
Оператор 
А
е сть положительно 
определенное расширение оператора А. Нижние грани о тн о ­
шений,
(
Аа.и) 
(Аи, и).
1
И * ’ 
1
Н ! 
w
равны между собой. Уравнение
A u = f  
(6)
имеет одно и только одно решение при любом f £ H .
Пусть U o (^ D (A ). Положим Аий= /. По теореме 5.4.1 
элемент 
м
0
реализует 
минимум 
функционала 
р (и ) =
— (Ли, и\ — 2 (/, и). По формуле (1) щ = O f и, следова­
тельно, А щ — /. Отсюда следует, что: 
1
) щ 
D
( А )
и, 
так как и0_— произвольный элемент множества D (Л), то 
D (A )C L D (A )\ 2) если u „^ D (A ), то Ащ = Ащ. Утверждения 
1
) и 
2
) в совокупности и означают, что 
А
есть расширение 
оператора А.
Докажем теперь, что Л — симметричный оператор. Прежде 
всего его область определения плотна в Н, так какD (A )Z }D (A ). 
Далее, возьмем в области D (A ) два произвольных элемента и 
и v и положим A u = f , A v — h. Тогда u — Gf, v — Oh. 
Подставив это в формулу (3), получим равенство
(г/, Аи) = (и, Av),
означающее симметричность оператора А.
Оператор А есть расширение А, поэтому множество зна­
чений отношения -4 ^ ?-- шире, чем то же множество для 
II “ II 
у
( А и , и )
отношения ~
, а в таком случае 
II« II*
inf 
i„f 
LAb “±  
(7) 
. 6
?(Д ) 
11
u Г
Л
II" II* 
( '
С другой стороны, обозначая
i"f 
X1-7jr = TS. 7 о > °- 
(
8
)
и
€ 
D (А)
II “ II
имеем (Аи, и) Ss fg || и ||9, и, следовательно, | ы |д ^
Ц и |, и £ Н А. 
В тождестве (2) положим и — Of, так что / — Аи:
(и, 
Аи) = (Аи, и) = [О/, ОЯд = | u ^ A ^ fo  II« I2-

---

Отсюда
и потому
(Аи, и )^ „ ,
II „  II* 
10
>
inf 
i^ U jji^
. —
. , 
(Аи, и) 
.gv
и Л ( л )  
llU||S "
Ъ ~ и Л ш  И Г • 
(9)
Сравнение соотношений (7) и (9) показывает, что
(Ли, г»)__ 
(Аи, и) 
/1ПЧ
llu IIs 
Hull* ' 
О®)
ибо (л) 
11 11 
«СОМ) 
«“ Г
Разрешимость уравнения (
6
) при любом 
есть
лишь иная формулировка отмеченного выше факта, что 
R (A )= H .  Действительно, если 
то f ^ R ( A ), и, значит,
существует такой элемент н0, что 
А
и0 
/. Единственность 
решения есть следствие положительной определенности опе­
ратора 
А
(см. теоремы 5.4.1 и 5.5.1).
Из разрешимости уравнения (
6
) при любом f ^ H  вытекает, 
что для этого уравнения обобщенное решение есть обычное 
решение. Заметим также, что обобщенное решение уравнения 
A u — f  есть обычное решение уравнения A u — f.
Расширение А положительно определенного оператора А, 
описанное в этом параграфе, было построено К. Фридрихсом. 
Мы будем ниже называть 
А
расширением оператора А 
по Фридрихсу.
З а м е ч а н и е . Для читателя, знаномого с понятием самосо­
пряженного оператора, укажем, что расширение А положительно 
определенного оператора А по Фридрихсу есть самосопряженное 
расширение этого оператора.
Доказательство этого утверждения можно найти в статье 
К. Фридрихса (7) и в книге автора [5], приведенных в списке 
литературы к разделу П.
Величина 
15
(формула (
8
) ) называется нижней гранью положи­
тельно определенного оператора А. Мы приходим, таким образом, 
к теореме К. Фридрихса.
Т е о р е м а 5.7.2. Положительно определенный оператор мо­
жно расширить до самосопряженного с той же нижней гранью.
Т е о р е м а 5.7.3. Энергетические пространства положи­
тельно 
определенного 
оператора 
и его 
расширения 
по Фридрихсу совпадают.

---

Пусть А — положительно определенный оператор в гиль­
бертовом пространстве Н  и 
А
— расширение оператора А 
по Фридрихсу. Надо доказать, что пространства Н А и /7^ 
состоят из одних и тех же элементов и что
К
1
д =
1
« Л ’ 
« о € " д -
0 0
1. Любой элемент из Н А принадлежит Н А и его нормы 
в обоих пространствах одинаковы. Это утверждение оче­
видно для элементов из области D (Л): если 
D (Л), то
I 
« о £ £ > Й )С Я з[; ПРИ этом |к
0
1д = (Л «0, «0) = О Ч ’ но) =
= 1но1л- Далее, для идеальных элементов пространства Н А
; 
соотношение и
0
G Н
а
означает, что существует последова­
тельность {«„}, un £ D (A ), со свойствами
j 
|| Мя — и0«-— ^ 0 , 
\ип — ит \*А
-------
►О. 
(12)
j 
п -*■ со 
п, т -* со
1
Но раз 
ип, ит
£ О (Л ), то 
ию 
ит  £ D ( A ) и
I 
ип
ИП
1
1?1 — (Л (н„ 
ит ), ип 
ит ) = (Л (« „ — ит ), ип — Иот) =
= \U» - Um[Z
| 
Таким образом, существует последовательность {«„}, ип £ D (A )
| 
со свойствами
II «Я — «ей—
>0, 
|и„ — ит |д -----
►О; 
(13)
1
Я
—
*00
п, т
-* со
; 
отсюда следует, что и £ Н~А. 
При этом в соответствии
' 
с определением идеальных элементов
! 
1“ , — 
иЛ л
— >-0» 
I м —
иЛ~л
— >-0;
I 
п
I n
О М Д оэ
отсюда
I"- !*
2. Докажем теперь, что из соотношения к 
выте­
кают соотношение и £ Н А и равенство (11). Если и £ Н%, то 
существует последовательность {«„}, ип £ D (Л), со свой­
ствами (13). Выше мы видели, что D {A )c z H д; поэтому 
tln £ Н
а
>
и по доказанному в п. 
1
К
-
Н« | д = К - Нт|А-

---

свойства (13) переходят в свойства (12), а тогда и £ Я >
Для элементов и (^ Н А равенство (11) было установлено в п. 1. 
Теорема доказана.
Нами была установлена формула (3.6)
[“ >
v
]
a
= (Аи, v), u (£ D  (Л), v £ Н А. 
Справедлива и следующая, несколько более общая формула: 
[и, v ]A — {Аи, и), u ^ D  (Л ), v 
Я л. 
(14)
Действительно, если 
u
£
d
{A ), г » £ Я л = Яд, то по фор­
муле (3.6)
[и, ®]Д = ( М v). 
(15)
В пространствах И А и Яд совпадают нормы, но тогда 
в них совпадают и скалярные произведения:
[и, я ]л = Т { ! “ + * & — |« - г » р л } =
= т {
1
“ + ’
1
, Ь - -
1
и —
Заменив в равенстве (15) [и, г;]д через [и, г»]д, мы и получим 
формулу (14).
§ 8. Простейшая краевая задача для обыкновенного 
линейного дифференциального уравнения
Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение 
второго порядка
“
j
;\
p
(■*) Щ + Я (■*)« (* ) = /(-*) 
(
1
)
и поставим следующую задачу: найти интеграл этого уравне­
ния на сегменте [а, b] при краевых условиях
и (а) = и (ft) =
0
. 
(
2
)
Будем предполагать, что р, р', q ^ С[а, b], f  ^ Ц (а , Ь). 
Далее, допустим, что р (х ) ^ рй —  const 
0, q (x )^ s 0. Так 
как функции р (х ) и q (x ) еще и непрерывны на сегменте 
[a, b], то имеют место неравенства
Р о ^ р { х ) ^ р р 
0 ^ q ( x ) ^ q u 
х  £ [а, Ь\,

---

где pi и qx, так же как и р0, — положительные по­
стоянные.
В качестве основного пространства Н  возьмем Ц  (а, Ь). 
За область определения оператора
[? ( * ) £ ] + ? ( ■ * ) “ (* ) 
(з) 
примем совокупность функций и(х), удовлетворяющих сле­
дующим требованиям:
и g Cl
2
)"[a, b], 
и (а) = и (Ь) = 0.
Докажем положительную определенность оператора А. Об­
ласть его определения плотна в Z.a (а, Ь) — это вытекает из 
t 
следствия 1.3.1. Проверим симметричность оператора А. Пусть 
и, v ^ D (Л), тогда
ь 
ь
1
(Аи, г>) = — jj v ~  
(лг) 
dx + § q (лг) и (лг) v (лг) dx.
| 
а 
а
I 
Первый интеграл возьмем по частям. Учитывая, что функ­
ция к(лг) удовлетворяет краевым условиям (
2
), получим явно 
симметричное выражение
I
(Аи, v ) —  
^ ( л г ) ^ ^ - f q (лг) «го] dx, 
(4)
а
L 
которое и показывает, что (Аи, v) = (u, Av), т. е. что опе­
ратор А симметричен.
Положив в формуле (4) v — u, получим 
ь
(Аи, «)= § [/> (■*) (£ £ } + Ч (х ) и
2
(лг)j dx. 
(5)
в
Учитывая ограничения на коэффициенты, найдем отсюда
ь
(Аи, и )^ р ь  J
dx.
а
Далее,
X
^ и' (t) dt = и (лг) — и (а) — и (лг).

---

По неравенству Буняковского
х 
Ь
и* (лг) < ; 
(х
— о) Jk '2 (0
dts^(b
— a) jj 
t f (t) dt.
a 
a
Отсюда
' 
b 
b
{ и If — ^ u2 (x ) rfjc sS 
(b
—
a f^ u '\ t)d t.

a
Окончательно
(Au,
 
| «Р.
что и означает положительную определенность; можно положить
. —
У К
1 
Ь— а-
Оператор А оказался положйтельно определенным, и мы 
можем ввести энергетическое пространство Н А. Докажем, что 
Н А состоит из абсолютно непрерывных на сегменте {я, Ь\ функ­
ций, обращающихся в нуль на концах сегмента и имеющих 
суммируемую с квадратом первую производную.
Допустим, что и ^ Н
а
- Это означает существование после­
довательности an^-D (A ), обладающей следующими свойствами:
I Н« 
!' т
! 
п, т
-*оо 
1 М
я UII 
7Г^х>
Если u £ D (Л), то
е>
| 
и
Р =
(Аи, и)
= J
[/»М
( £ ) ’ +
9
-М и
3 (х )] 
dx.
а
Следовательно,
ь
| И„ — Hm р = $ [/> (х ) (« ; —
umf
- f 
q
(дг) 
(u„
—
umf
] 
dx
— — 0,
a
и так как оба слагаемых под интегралом неотрицательны, то

---

Вспоминая ограничения на р, получаем
ft 
ь 
6
р» \ («я — ll'm? dx 
(х) К — Umf d x ^ P i\ (и’„ — и'тУ dx,
а 
а 
а
и, значит, то обстоятельство, что 
ъ
\ р (.х )("'п - и’т У dx
а
равносильно следующему: 
ь
S iU n - u 'n tfd x — ^ O .  
(
6
)
а
В свою очередь последняя запись означает, что последова­
тельность производных {и'п} сходится в себе в метрике 
(а, Ь). 
Пространство Lt (а, Ь) полное, и указанная последовательность 
сходится к некоторой функции v  ^
(а, Ь).
В тождестве
X
$ и'п 
(0
dt —  и„ (х ) — ип (а) = ип (х )
а
можно перейти к пределу:
х
u (x ) — ^v (t) dt.
а
Последнее равенство означает абсолютную непрерывность 
функции и(х), при этом и' = v 
L t (a, b). Очевидно также, 
что и (а ) = 0, и остается показать, что и (Ь) — 0. Это можно 
сделать, например, так: в тождестве
й
J и'п 
(0
dt — ип (Ь) — ип ( * ) == — и„ (jf)
X
перейдем к пределу:
ь
n(x)— — ^v{t)dU 
*
и ясно» что н (£ )=
0
.

---

Выше мы видели, что для функций t i(^ D (A ) верна 
формула
ь
|«Г= = 5 [р (• *)(£ )* + Я С*)и3(■*)] dx. 
(7)
а
Докажем, что эта формула верна для любой функции из 
энергетического пространства. Пусть и £ Н А. Возьмем после­
довательность un (^ D (A ) со свойствами
1“ /. — “ liT ^ S 0* 
К — иЦтпгЗ0-
Формула (
6
) дает еще одно соотношение:
II “ л - и ' 1 —
0.
Норма предела равна пределу нормы, поэтому