И здан и е второе, стереотипное

I (x , t)
=
J r1 A*(i> sin 0 d b rftpdr
O H
и продифференцировав no t, найдем
ТС
- - 
== § § 
s*n ® ^
= § ^ г0)
о о
S(
С др у гой стороны , дифференцируя ф орм ул у (2 ) по к о о р д и ­
натам, найдем
* flit
Д «! (jc, 0 —
4~ Ц j Дгш sin & db d —
J Д*«) dSt,
o o
s\
z — x
- f - 16, 
(9 )
и из формул (8 ) и (9 ) вытекает, что
d‘ u,
. 
/ 1

---

Д опустим теперь, что функция ш (г ) имеет непрерывные 
производны е д о тр етьего порядка включительно, и р а ссм о т ­
рим функцию
щ(Х, о = £ т ф(х, /) = % .
(11)
Н етр удн о видеть, что функция щ имеет непрерывные в т о ­
рые производные. Она удовлетворяет волновому уравнению
дги3
. 
й’ и, 
« ди. 
д I д2и,
» 
\ 
~
~dF 
1'2~~дГ3 
~W~~Ш \ W ~
V =
( 12) 
Ф ормула (5 ) показывает, что
«»(* > 0 ! м = ш( 4
(1 3 )
Далее
диа
I 
д*и, \
 
,
, 
к
dt
j /=-о 
dt3 
t
= о 
* ^ =0 — ^
Iх ’ 
^
ч то равно нулю в силу соотнош ения (3). Таким обр азом ,
«
=
а
с о
ди2
dt
Полагая теперь оди н раз w =
используя соотнош ения (3 ), (5), (1 3 ) и (14), а также уравне­
ния ( 1 0 ) и (12), мы убедимся, что функция, определяема* 
ф ор м у л о й Кирхгофа, удовл етворяет как волновому уравнению, 
так и начальным условиям
111 ‘=й — ?о (•*)>