И здан и е второе, стереотипное

§ 1. П рим енение п р е о б р а з о в а н и я Ф ур ье
Будем искать реш ение вол нового уравнения
О )
в о всем пространстве Е т и в моменты времени < ^ > 0 . П усть 
искомая функция удов л етв ор я ет начальным условиям
Примем, что все выполняемые ниже операции законны. К обеим 
частям уравнений (1 ) и ( 2 ) применим преобразование Фурье. 
П оступая так же, как в случае уравнения теплопроводности, 
мы 
придем к сл едую щ ей задаче Кош и для обы кновенн ого 
линейного дифф еренциального уравнения в т о р о го порядка с 
постоянными коэффициентами
(
2
)
rfpr + M 9« = 0,
“ L o = <Ро С*). 
— ^ = tp, (
jc
);
(4 )
(3 )
си м вол ~ означает преобразование Фурье. 
О бщ ий интеграл уравнения (3 ) имеет вид
и 
(
j
:, 0
= .4 
( х )
c o s | jc | ^ - j - В (.х ) sm | * | /.
При t — Q находим

---

и мы получаем решение задачи (3 ) — (4 )
I 
, I 
~ <• ч s in
I 
х
1
1 
и (х ,
г) = сро(лг) cos 1ЛГI ^- j - срх (ЛГ)----j ^ j — . 
(5 )
Выполнив обратное преобразование Ф урье, придем к сл едую ­
щей формуле для и ск ом ого решения:
н ( х , 0 =
=
(2к)
" ^
[ ?0 О ) c o s
\у
1
1
+ * , Су) 
»
dy.
( 8 )
Обоснование формулы (6 ) проведем при следую щ их пред­
положениях. Мы примем, что функция <ро(*) имеет во всем 
пространстве 
Е т
непрерывные 
производны е д о
порядка, 
т -
f -З включительно, а функция ср, (лг) — непрерывные произ­
водные д о порядка 
т -\ -2
включительно. Далее мы при­
мем, что сами начальные функции и их производны е тол ько 
что указанных порядков отличны о т нуля лишь в н ек ото­
рой конечной области пространства Е т.
Из теоремы 23.1.2 вытекает, что при д о ста точ н о бо л ь ­
ших | лг | верны оценки
'f 0
(JC) — о (! JC Г Л