И здан и е второе, стереотипное

e - i
(
jc
. 
y ) d y =
(2т:) 
2 ~ ^
и 
{у, t) 
е ~ ‘
у Ч у =
т
д й
(
х , t)
dt
где m(jc, t) означает преобразование Фурье функции и (х , t)
- 1 С
и
(х , t) = (2it) 
2 \ и (у, t) e ~ i{-x' y)dy.
Каждый интеграл в о втором слагаемом в (3 ) возьмем 
по частям
О * ) - * !
— ( 2 « ) " ~ а* И u ( y ,t ) e -^ * - y ) d y =
т 
Ет
z = — X%U (X , t).
Уравнение (3 ) принимает вид
а г - Н * * 1 “ =
0- 
(4)
Э т о — обы к н овен н ое дифференциальное уравнение 
первого 
порядка с независимой переменной t; координаты x v х ^ , х т 
играю т роль параметров.
И нтегрируя уравнение (4), получаем
и (х , t) — C
(jc) 
е.
Полагая здесь t =  О, найдем
С ( х ) — и(х,
0).
Таким образом , функция C (jc ) есть преобразование Фурье 
начального значения функции u (x ,t). В силу условия (2 ) 
и
(х , 0 ) = <р ( х ) , следовательно,
- - г
С ( j ; ) = cp(jc) = (2тс) 
2 \ ср 
{ у )
у Ы
у
и (х , t) = y { x ) e ~
W**.

---

В оспол ьзуем ся формулой обращ ения интеграла Ф урье (1 .4 )
с 
-
и (X, t) =
(2тс) 
2 \
УЫу.
Заменим здесь его выражением и изменим порядок 
интегрирования
и ( х , t ) =
(2тс)~т 5 ср(г) { $ 
e - , y * \ t + i ( x - z , я щ dZ'
(
5
)
Е 
Е
т 
т
Займемся вычислением внутреннего интеграла в ф ор м у ­
ле (5). Имеем
^ е—\У I2' + 1 (* - *• М у  =
Е т
-|-00 
-J-°° 
т
~~ \ - у У + Ч хк - * к) у к
1
d ytd y
t . . . d ym —
- Н - *
т
-f со
I f 5 e - y2' + i{x* - ' b ]ydy. 
(6 )
k ~ \  — СО
В интеграле справа у  — вещественная переменная, которая 
меняется в пределах — о о < ^ у  < ' оо .
Выделим А-й множитель в произведении (6). 
Обозначим 
для краткости х к — z k = a. Д ело своди тся к вычислению ин­
теграла
+5°
1 
(а) = ^ е~У г‘ + !аУ dy
г + “
L.-4 ~ и
1 Г У
- " - f t
Рис. 46.
Рассмотрим пл оскость комплексной переменной { = у
i-ц.
Для определенности примем, что а ^ > 0 . П остр ои м прям о­
угольник с контуром L, как показано на рис. 46. П о теор ем е 
Коши

---

или, в бол ее п одробной записи,
J ^
_ „ у .
о 
N
\ е Ч '
я ) d y - f - \ e - W + W I d-Ц — [ e - W d y —
- N
‘I
—TV
_ It
0
—
5 e - ^ ~ N + ^ ld-fi — 0.
П усть теперь N -*■ о о . При этом второй и четвертый ин­
тегралы стремятся к нулю. Действительно,
$ e - H N ± h
о
О тсю д а следует, что
/
ia\2 
+ “
Л егко видеть, что случай а 
0 приводит к т о м у же резуль­
тату. Замена у У t — s дает, далее,
— 
00
 
'
 
—со
Т еперь
— “ * "V° 
—
— 
/---- _ (Xt ~ гкУ
е
* $ в *\
у
 
и ) d y = y
v
 
.
—00 
' 
и интеграл (6 ) оказывается равным величине

---

П одставив эт о т результат в ф орм улу (5), получим так назы­
ваем ую формулу Пуассона
и {х ,
О в - г - т Ц я г f < e ( z ) e ~ “ dz. 
( 7 )
§ 3 . О б о сн о в а н и е ф ор м у л ы П у а с с о н а
М ы не будем пытаться доказывать законность действий 
п р ед ш ествую щ его параграфа. В м есто э т о г о мы неп осредст­
вен н о установим> что формула П уассон а дает ограниченное 
реш ение задачи Коши для уравнения теплопроводн ости (2 .1 ) 
в единственном предположения, что начальная функция <р (лг) 
непрерывна и ограничена в пространстве Ет.
Д окаж ем прежде всего, что ф ормула П уассона оп р ед е­
ляет функцию, непрерывную при t ^ > 0 .
В пространстве т - j- 1 переменных л'
1> Ха, • • •> х т> t р а с­
см отрим область, определенную неравенствами
|*8 |==Sa4, 
O ^ t ^ T ,
(1 )
где а  и Т — положительные постоянные. Докаж ем, что вх одя ­
щий в формулу Пуассона интеграл
Г*
J
<р (г ) е ^ dz
(
2
)
m
сх о д я т ся равномерно по х  и t в области (1). Возьмем д о ­
ст а т оч н о бол ьш ое число R и оценим интеграл
г*
~4<
^ 
ср ( г ) е 
dz.
l * l > я
Ф ункция 
<р(г) 
ограничена; 
пусть 
| <р ( г ) | 
Л4 = const. 
Д алее 
r = [ x — z \ ^ \ z \ —
| л г| ^ | г| — а. Будем считать,
что R  >
2а. Тогда 
и г > Ц ^ . Теперь
r
l
z
е ' * ‘ < ^ е
16Г’

---

и, следовательно,
/■я
J 
f ( z ) e
dz
z \ > R
Интеграл
<С_М
t 
е к г dz =
I* , > Я
оо _ Ра
: 
М [St\\e i6r рт~* dp.
( 3 )
я
ОО 
(|2
J рт “1 е 16 г dp
о
сходится, п о эт о м у интеграл сгфава в (3 ) сколь у г о д н о мал 
при R д о ст а т о ч н о бол ьш ом ; так как он не зависит ни о т х , 
ни от t, т о интеграл (2 ) сходится равномерно. О тсю д а сл е­
дует, что функция, определяемая ф ормулой П уассон а, непре­
рывна при t 
0.
Докажем, ч то при t~^> 0 функция и (х , /) беск он еч н о диф ­
ференцируема по I и по координатам точки х  и что все 
производны е м ож н о получить, дифференцируя ф ор м у л у П уа с­
сона под знаком интеграла.
Рассм отрим , например, производную 
Если ф орм ал ьно
продиф ф еренцировать no t правую часть формулы Пуассона, 
т о получится выраж ение
т
т т -f- 2 
241+1 я 2 
t ~
rf(z)e
4' dz ■
1
т m -f-4
2т+г к1 1 2
г® 
(4 )
Как мы видели, первый интеграл сходится равн ом ерн о в о б ­
ласти (1). Т о ч н о гак же проверяется, что в той ж е области 
равномерно сх од и тся и второй интеграл. Отсюда, к а к обы чно, 
следует, ч то производная сущ ествует, непреры вна и со в п а ­
дает с выражением (4). Сущ ествование остальны х прои звод­
ных устанавливается аналогично.
Н епосредственны м дифференцированием доказы вается, что 
функция, определяемая ф ормулой Пуассона, у д о в л е т в о р я ет
уравнению теп л оп р ов од н ости (2.1).

---

О стается доказать, что функция и (лг, t) ограничена и у д о в ­
летворяет начальному условию (2 .2 )
Ига и 
(х, <) = Н т
V <р ( г )
е, « d z =  (* ).
с т
Сделаем замену z = x - \ -  2 / Г £, тогда формула П уассон а 
примет вид
и ( х , 0 = « " а' 
\
< р(* + 2
V t
( 5 )
П о известной формуле
+00
^ е-е* dp — у  тс
— СО
л егко находим
т
тГ*
$ e - i e i * d 6 = l . 
(6)
Ет
Т еперь из формулы (5 ) следует
т
| и (лг, t) | 
М к
2 § е ~  1 ^ |S d% = Ж, 
и функция u ( x ,t )  ограничена. Далее по формулам (5 ) и (6 )
т 
_
u ( x , t ) —
2 ^ [(р (* + 2 V t  ?) — < p ( x ) ] e - l 5 '2 d i (7 ) 
Em
Интеграл в формуле (7 ) разобьем на два интеграла, взя­
тые по областям |£|‘^ > R и |£|<^R> гДе R — некоторая п о ­
стоянная. Имеем

---

484 
ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ [Гл. 23 
Интеграл
СО
$ P ^ e - p V p
о
сходи тся, и мож но выбрать такое R0(&), что при / ? ■ > / ? „ (г) 
бу д е т 
' 
^
_гп 
оо
2 М * 2 |5,| 5pm- 1e - P V p < s .
/г
Зафиксируем какое-нибудь R ^ > Ro(e). Тогда м ож н о найти 
та к ое tQ (е), чтобы при 0 < ^ < ^ 0(е) и для л ю б о г о 5 , I £ ! < : / ? ,
бы л о
| <р (лг - f - 2 V t S) — ip (x ) | < ~ •
Т еперь
nt
$ 
[
d\
i e i < *
m
<
и окон чательн о
I и (* , 0 — ? ( * ) ! < « ,
О < < < /0 (е).
Этим заверш ено обоснован ие формулы П уассона.
Если предстои т интегрировать неоднородное уравнение 
теп л оп р ов одн ости
ди
А 
л -
-g= — А и = / ( х ,
0
( 8)
при условии Кош и (2.2), то, применяя преобразование Фурье 
п о координатам, мож но получить дифференциальное уравнение
du 
о
 
~ 
~
5 Г + • * « = / ( * . 9
(9 )
и начальное усл ови е
и ( х , 0 )= 1 ? (х Ъ
 
(Ю )
f { X
*) = = ( ^
J
f i y > t ) в " 1 и г,л <У-

---

Уравнениям (9 ) и (1 0 ) уд ов л етв ор я ет функция
t
и
(лг, t) = е ‘ 1 * |! 1  - f - § е ~  • * * ~ т) J {x , т) 
dz.
о
Применив к ней обратное преобразовани е Фурье, получим в 
конечном счете следующ ее выраж ение для искомой функции:
“ ( * ' <)= ё Й г г 1
+
Ет
1 
1 
г%
+ Г Г /(*> "0—
- p .
^ V — 
^dzdt, 
r 
= \z
—
х\. 
n J J
(2 V ^ T м
г
.
0 
Ет
§ 4. Бесконечная ск орость теплопередачи
Из формулы Пуассона вытекает, что тепло р а сп р о ст р а ­
няется с бесконечной ск ор остью . Д ействительно, представим 
се бе , что теплопередающая среда заполняет все п р о стр а н ств о
Ет.
П усть в начальный момент вся среда, кроме н е к о т о р ой
конечной области D, имеет нулевую температуру ( с р ( х ) ^ О ) ,
а точки 
области 
D
нагреты д о н ек оторой тем пературы
?
В любой точке х £ Е т и в л ю бой момент времени t 
О
температура среды u ( x ,t )  определяется формулой П уассон а
D
интеграл 
по E m\ D  исчезает, потом у что в этой обл асти 
ср ( j t ) = 0. Н о из формулы (1 ) ясно, что и (х , £ )^ > 0 . Таким 
обр а зом , как бы ни было мало t и как бы ни была далека 
точка х  о т области D, тепло из этой области за п р ом еж у ток
времени t успевает дойти д о точки х . Э то и означает, что 
теп л о распространяется с бескон ечн ой с к о р о ст ь ю .
Э т о т физически противоречивый вы вод на практике о с л о ж ­
нений не доставляет. Если |дг| велик, a t мало, т о в ф о р -
г »
муле ( I ) отрицательный показатель — ^ велик по а б с о л ю т ­
ной величине, и значение тем пературы tt(x, t) п рен ебреж им о 
мало. Практически, следовательно, ф ормула П уассон а даег 
(с точ н остью д о пренебрежимо малых величин) н е к о т о р у ю
конечную ск ор ость распространения тепла.

---