И здан и е второе, стереотипное

и (х . t)
= 2 {an cos m t - f - —
sin mtt'j sin т х , ( 4)
l)
П о п овод > о б щ е г о случаи см. книгу |3].

---

где
ап =
2 $ <р0 (л;) sin nw dx>
" 
(5 )
bn =
2 ^ 
rnz x dx.
Реш ение (4 ) назовем классическим, если при 
£ ^ > 0 он о непрерывно вместе с о своими производными п ер­
в ы х д в у х порядков. Э то бу д ет иметь м есто, если ряд (4 ) и 
ряды, полученные из него о д н о - или двукратным дифференци­
рованием, будут сходиться равномерно.
Докажем, что такая равномерная сх оди м ость имеет место, 
если выполнены следую щ ие условия: 1) функции
?<*>(*), 
k =
0, '1 ,2 ; 
<р<*> (х), 
k
= 0 ,1
а бсол ю тн о непрерывны на сегм енте [0, 1];
2 ) <ро 
1)> 
I)»
3 ) выполнены условия согласования
<ро (О) = ср0(1 ) = О, Т1 ( 0 ) = <р1 ( 1 ) = 0. <ро ( 0 ) = <ро ( 1 ) = = 0 . ( 6 )
Заметим, чго условия согласования необходимы для т о го, 
ч тобы решение (4 ) бы ло классическим. Первые два условия (6 ) 
вы текаю т 
из 
непрерывности 
функции 
и (х , t)
в 
точках 
лг — 0, t =  0 и л г = 1, t —  0; вторы е два условия (6 ) — из
непрерывности в тех же точках производной g j . Т р еть ю пару
м ож н о получить так. Полагая в уравнении (1 ) t =  0, получим
(Ги
д(‘
ср" (
jc
) = 0.
Дифференцируя тож дества (2 ), получим
дги
д-и
дс3
dt*
=
0
.
1
Полагая 
здесь £ = 0, 
а 
в предш ествую щ ем
со о тн о ш е н и и
jc = 0 и х  = 1, получим тр етью часть условий (6).
Коль ск о р о условия 1) — 3 ) 
сф ормулированы , дальней­
шее получается просто. Ф ормулы для коэф ф ициентов ап и Ьп

---

п р еобразуем интегрированием по частям
I