И здан и е второе, стереотипное

1
Ьп =
2
$ <р (.кг) sin т х dx. 
(
6
)
0
Д окаж ем 
вначале, 
что 
при . 0 = ^ л г ^ 1 , *
5
» 0, ряд (5 ) 
сходи тся равномерно. Для э т о г о возьмем интеграл (
6
) по
частям; учитывая условия (4), получим Ъп = ^ , где
1
Рп = - ^  co s т х d x
о
есть я-й коэф ф ициент Ф урье функции 
ер'(.*) при ее раз­
ложении по ортонормированной системе { ] / 2 cos пкх\. 
Ряд
ОО 
^
2
Ря сходи тся , а тогда в силу неравенства 
сх од и тся и ряд
ОО
2 1 * » 1 -
(7)
"=■>
Н о ряд ( 7 ) — мажорантный для ряда (5), которы й п оэтом у 
сходи тся а б со л ю т н о и равномерно; члены ряда (
5
) непре­
рывны, и е г о сумма также непрерывна при O ^ j t ^ l ,
0
.
Д окаж ем теперь, что функция и (л;, t) — сумма ряда (
5
) —
имеет при 
< ^ > 0
производны е всех порядков по х  и по t. 
Для э т о г о д о ст а т о ч н о доказать, что после дифференцирова­
ния ряда (5 ) по х  и t л ю бое число раз получается ряд, 
сходящ ийся равном ерно при O s g j c s S l , t 
t,
где t —  п р о ­

---

извольная положительная постоянная. П родифференцировав 
ряд ( 5 ) р раз по х  и q раз по t, получим ряд
ОО
( —
1
)« ^ nfH:'i9^pvi4bne -  
sin {п-кх -\-р 
y
) .
(
8
)
п=\
Коэффициенты Фурье Ьп, очевидно, ограничены, и ряд (