8
)
м аж орируется следующим рядом:
ОО
С
2 nise - nHiT,
С —
const,
2 s ^ p - \ - 2 q ,
s =
const.
1
Д алее
v e - nw t <
_________________ « ! ! ________________ < (
2
s +
2
-)l ,
^
-
nss+s
-
^ / _
2
/\ss+a „ s ’
t + “ V < + ' " + ( l + 2 ) l W
и м ож н о построить бол ее сильный мажорантный ряд
СО
Ci 2 i *
c i = con st>
Я
=1
которы й , очевидно, сходится. Наш е утверж дение доказано.
Как видно из хода доказательства, сущ ествован и е б е с к о
нечн ого числа производных при
^ ^ > 0
м ож но установить,
предполагая лишь, что < p £ Z . (
0
,
1
); дополнительны е доп у
щения о функции <$>(#) понадобились т ол ь к о для доказа
тельства непрерывности решения при t — 0.
§ 4. М е т о д Ф ур ье для в о л н о в о г о у р а в н е н и я
О б общ ен н ое
решение и (х , t ) = _ u { t ) смешанной задачи
для в о л н о в ого уравнения (см. §
2
гл.
2 1
) есть абстрактная
функция о т t, принадлежащая кл ассу К (ф ормула (2 .9 ) гл.
21
)
и удовлетворяю щ ая тож деству
- J { ^ р - , * & ) dt + § [ « (
0
. Ч (
0
] Л - ( *
1
. Ч ( ° ) ) =
о
7
\ ( / « ) > 4 ( 0 ) Л ,
ч £ К т ,
О )
\
*
и начальному условию
и (О ) = ? 0-
(
2
)
З д есь
<р0
Примем, что f ( t )
=
f ( x , t)
—
абстрактная функция класса С ([0 , о о ); Ц (2 )). У словие (2 )
понимается в смысле п редельн ого перехода в энергетической
метрике
lim | и (t) — <ро | =
0
.
о
Д опустим , что реш ение u(t) задачи (
1
) — (2 ) сущ ествует.
Разложим е го в метрике Z.
9
( 2 ) в ряд по систем е собств ен
ных элементов оператора
21
ОО
" ( 0 = 2
Сп
( 0
и „
с п
(
t ) =
(и (
t
),
ип).
(3)
а — I
Э т о т же ряд, записанный в виде
ОО
/
1=1
дает разложение реш ения
u(t) в метрике Нщ по полной
ор тонорм ирован ной си стем е — --L -
V K
'
В тож дестве (1 ) полож им tj (t)
{Т —
t) ип. Вспомнив,
что
(И (0 - ип\ = К (и (0 , ип) = \псп (0,
мы получим сл едую щ ее уравнение для неизвестного к о эф
фициента cn(t):
г
г
Г ( ?1, м„ ) 4 - Х„ $ (Т —
f)cn (t) dt —
0
о
т
= \ { T - t ) f n {t)dt,
(4 )
о
где
Уравнение (4 ) продифференцируем п о Г а заменим о б о
значения Т и t соответственно на t и х:
t
t
с п. (О — (
Щ
1
) -Ь
5
сп СО dx = ^ / „ (т ) dx.
(6 )
о
о
Уравнение (
6
) показывает, что су щ е ст в у е т вторая произ
водная с“
п (t).
Дифференцируя, видим, что с (О удовл етворяет
обыкновенному дифференциальному уравнению в т о р о го порядка
с постоянными коэффициентами
-% ,^ - + V „ ( 0 = / * ( 0 ;
(7)
начальные условия для этого уравнения получаем из с о о т н о
шений (
2
) и (
6
)
(0 ) = (сро.
с'п (0 ) =
(
«„)•
(8 )
Решение задачи имеет вид
сп
(О = (То- «л) cos
V K t
- f
s in
V K t - \ -
t
|
(9)
О тсю да
CO
(
и
(дг, 0 = 2 Kfo-
Ua)
COS
V K t - V
sin
t
+
ф ва
I I
+ ' j / ^ =r ^ sin V K ( t — “0 A, CO
««(■*)• ( ,0 )
Таким образом, если обобщ ен н ое реш ение
смешанной
задачи для вол н ов ого уравнения су щ еств у ет, т о о н о н е о б х о
димо имеет вид (10). Как и для уравнения т еп л оп р ов од н ости , из
э т о г о вытекает единственность о б о б щ е н н о г о решения.
Ф ормула (1 0 ) несколько громоздка, п о э т о м у ее о б о с н о
вание проведем следующим образом.
П у сть функции v ( x , f ) и w ( x , ( ) су ть об об щ ен н ы е реш е
ния следую щ их задач:
одн ор одн ого
в о л н о в о г о
уравнения
и н ео д н о р о д н о го вол н ового уравнения с однородными началь
ными условиями
Тогда, очевидно, tt — v -\ - w . Из общ ей формулы (1 0 ) вытекают
сл едую щ ие ф орм улы для v и w:
w ( x ,
0 = 2
J s in V X ( ' - 0 / * « K t .
(1 4 )
В п осл ед у ю щ и х двух параграфах мы проведем обосн ов а
ние м етода Ф урье отдельно для каждой из задач (
11
) и (
12
).
§ 6. О боснование метода для однородного уравнения
Как и для случая уравнения теплопроводн ости (§
3),
О боснование метода Ф урье сводится к проверке нескольких
утверждений.
а)
Ряд (4 .1 3 ) сходи тся в метрике Нщ равномерно по t на
всей оси.
Запишем ряд (4 .1 3 ) в виде
(1 3 )
ОО
I
4*
(?и
Яв)
sin
V h
t } - у ц =
П
2 j b ' 7 * 7 ]
V K t
+
(
un)
sin | A „
t
П оследний ряд есть ряд по систем е функций
, о р то-
нормированной в метрике
Н%, и доста точ н о доказать, что
равномерно по
t сходится ряд из квадратов коэф ф ициентов
_
ср°’
~ У Г Г ] cos
tJ r
(?i> “ л) sin
V K * } •
Сумма эт о г о ряда не п р евосходи т величины
я
— 1
'
п
п
= 1
П о неравенству Бесселя о б а ряда сходятся. В т о же время
их члены не зависят о т
t. П о теорем е В ейерш трасса ряд (2 )
сходи тся равномерно.
Ряд (4 .1 3 ) сходится равномерно по
t и в метрике L
9
(Q ) —
э т о сразу вытекает из неравенства полож ительной определен
ности (неравенство (3 .3 ) гл. 5).
Из утверждения настоящ его пункта вытекает такж е, что
Do'stlaringiz bilan baham: 
