И см еж ны е вопросы view project

 
 
 
 
 
 
 
 
       
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

---

- 53 - 
 
5.2.  
ҚУТБ КООРДИНАТАЛАР СИСТЕМАСИ 
 
Координаталар  системасини  яна  бир  хили  бўлган  қутб 
координаталар системасини қараймиз. 
 
 
ва 
 
 
сонлар  қутб  координаталари 
дейилади. 
 
 
қутб дейилади.  
Бунда, 
          
 
ва 
          
 
   
 
қутб радиуси, 
   
 
эса қутб бурчаги 
деб аталади. 
  
 
Қутб  координаталар  системасида 
  
 
нуқтани 
       
 
каби 
ёзишимиз мумкин. 
Декарт  координаталар  системаси  билан  қутб  координаталар 
системаси  орасидаги  боғланиш 
    
 
тўғри  бурчакли 
учбурчак ёрдамида топилади. 
 
◙  
Қутб координаталар системасидан  
декарт координаталар системасига  
ўтиш: 
 
          
          
 
 
 
 
◙ 
Декарт  координаталар  системаси-
дан  қутб  координаталар  системасига 
ўтиш: 
 
      
 
   
 
 
     
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
       
 
  
 
 
 
 
 
 
 
  
 
       
 
 
 
  

---

- 54 - 
 
Мисол.
   
          
 
нуқта  берилган. 
 
 
нуқтанинг  қутб 
координаталарини топинг.  
Ечиш:
     
      
 
   
 
            
.  
     
 
 
 
   
  
          
 
 
           
, 
          
 
нуқта  3 
чоракда жойлашганлиги учун, 
     
 
ва 
   
 
 
     
  
 
. 
Шундай  қилиб, 
          
 
нуқтанинг  қутб  координата-
ларидаги ифодаси 
    
  
 
 
 
нуқта бўлади. 
 
5.3.  
ТЕКИСЛИКДА ИККИ НУҚТА ОРАСИДАГИ МАСОФА.  
 
Текисликда икки 
   
 
;
 
 
          
 
;
 
 
  
 
нуқталар орасидаги 
масофа қуйидаги формула ёрдамида топилади. 
 
       
             
 
   
 
 
 
    
 
   
 
 
 
. 
 
5.4. 
КЕСМАНИ  БЕРИЛГАН  НИСБАТДА БЎЛИШ 
 
Текисликда   
   
 
;
 
 
          
 
;
 
 
   
нуқталарни  боғловчи  
  
 
кесмани  берилган  
     
 
нисбатда бўлиш.  
 
     
 
да 
     
 
да 
     
 
да 
     
 
да 
 
   
 
 
       
 
     
 
 
   
 
 
       
 
     
 
 
   
 
 
   
 
 
 
 
   
 
 
   
 
 
 
 
          
нуқталар  
бир-бири билан 
устма-уст 
тушади.
 
 
 
 
нуқта  
  
 
кесмадан 
ташқарида 
жойлашган 
нуқта бўлади. 

---

- 55 - 
 
5.5.  
УЧБУРЧАКНИНГ ЮЗИ 
 
Учлари 
   
 
;
 
 
 
  ,
    
 
;
 
 
 
 
ва 
   
 
;
 
 
 
       
нуқталарда 
бўлган учбурчакнинг юзи формуласи.   
 
 
 
 
 
 
 
 
   
 
 
 
   
 
 
 
   
 
 
 
   
 
                  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
. 
 
◙ 
Агар 
 
 
   
 
бўлса,  у  ҳолда 
   
 
;
 
 
 
,
    
 
;
 
 
 
 
ва 
   
 
;
 
 
 
    
нуқталар бир тўғри чизиқда ётади.  
 
◙ 
Агар 
 
 
   
 
бўлса, у ҳолда унинг модули 
  
 
 
 
ни олиш керак 
бўлади.   
 
5.6. 
УЧБУРЧАКНИНГ ОҒИРЛИК МАРКАЗИ 
 
Учлари 
   
 
;
 
 
 
,
    
 
;
 
 
 
 
ва 
   
 
;
 
 
 
    
нуқталарда бўлган 
учбурчакнинг оғирлик марказини топиш формуласи. 
 
   
 
 
  
 
  
 
 
 ,          
   
 
 
  
 
  
 
 
. 
 
 
 
 
 
 
 
 

---

- 56 - 
 
6. 
ТЕКИСЛИКДА ТЎҒРИ ЧИЗИҚ ТЕНГЛАМАЛАРИ. 
 
Текисликда 
иккита 
нуқта 
берилган 
бўлсин. 
Бу 
нуқталардан 
бир 
хил 
масофада 
турган 
нуқталар 
тўплами(нуқталарнинг  геометрик  ўрни)  тўғри  чизиқ  деб 
аталади.  
 
6.1.  
ТЎҒРИ ЧИЗИҚНИНГ БУРЧАК КОЭФФИЦИЕНТЛИ 
ТЕНГЛАМАСИ. 
          
,  
         
 
 
1).  
агар 
     
  
бўлса, тўғри чизиқ тенгламаси  
      
   
бўлиб, 
координаталар бошидан ўтувчи тўғри чизиқ бўлади.  
 
Хусусий  ҳолда 
   
1  да 
     
   
тўғри  чизиқ  I  ва  III  чорак 
биссектрисаси, 
     
1  да 
      
   
тўғри  чизиқ  II  ва  IV  чорак 
биссектрисаси бўлади.     
 
2). 
агар  тўғри  чизиқнинг  графиги 
  
 
ўқига  параллел  бўлса, 
тўғри чизиқ тенгламаси 
     
 
кўринишда  бўлади. 
 
3).  
агар тўғри чизиқнинг графиги 
  
 
ўқига параллел бўлса, 
тўғри чизиқ тенгламаси 
     
 
кўринишда  бўлади. 
 
4).  
агар  
     
,  
     
  
бўлса, тўғри чизиқнинг графиги 
          
 
чораклардан ўтади. 
5).  
агар  
     
,  
     
  
бўлса, тўғри чизиқнинг графиги 
          
 
чораклардан ўтади 
6).  
агар  
     
,  
     
  
бўлса, тўғри чизиқнинг графиги 
         
 
чораклардан ўтади 

---

- 57 - 
 
7).  
агар  
     
,  
     
  
бўлса, тўғри чизиқнинг графиги 
           
  
чораклардан ўтади 
 
6.2. 
ТЎҒРИ ЧИЗИҚНИНГ УМУМИЙ ТЕНГЛАМАСИ. 
 
               
 .        
 
Бу  ерда 
         
ихтиёрий  сонлар  бўлиб, 
              
 
бир 
вақтда нолга тенг эмас. 
            
  
нормал вектор. 
 
1). 
агар 
     
 
бўлса, тўғри чизиқ тенгламаси 
     
 
 
     
бўлиб, 
графиги  
  
  
ўқига параллел бўлади. 
2). 
агар 
     
 
бўлса,  тўғри  чизиқ  тенгламаси 
     
 
 
   
бўлиб, 
графиги 
  
 
ўқига параллел бўлади.
 
3). 
агар 
     
 
бўлса,  тўғри  чизиқ  тенгламаси 
           
 
бўлиб, координаталар бошидан ўтувчи тўғри чизиқ  бўлади. 
 
4). 
умумий  тенгламадан  бурчак  коэффициентли  тенгламага 
ўтиш  мумкин  ва  аксинча,  бунинг  учун,  уни 
 
 
га  нисбатан 
ечилиб 
                  
 
 
       
 
 
 
.  
ҳосил қилинади 
 
 
6.3.  
ТЎҒРИ ЧИЗИҚНИНГ ДАСТАСИ ТЕНГЛАМАСИ 
 
          
 
   
 
 
 
нуқтадан  ўтувчи  ва  бурчак  коэффициенти 
 
 
га 
тенг  бўлган  тўғри  чизиқ  тенгламаси  ёки  тўғри  чизиқ  дастаси 
тенгламаси. 
     
 
         
 
 
 . 

---

- 58 - 
 
6.4.  
ИККИТА НУҚТАДАН ЎТУВЧИ ТЎҒРИ ЧИЗИҚ 
ТЕНГЛАМАСИ 
 
       
Берилган 
 
 
  
 
;
 
 
 
 
ва 
 
 
  
 
;
 
 
 
 
нуқталардан ўтувчи тўғри 
чизиқ тенгламаси.  
 
     
 
 
 
   
 
 
     
 
 
 
   
 
                
     
 
     
 
 
 
 
   
 
 
 
   
 
         
 
 
1
).  Агар 
 
 
   
 
 
бўса,  у  ҳолда 
 
 
 
ва   
 
 
 
нуқталардан  ўтувчи 
тўғри  чизиқ  ординаталар  ўқига  параллел  бўлади  ва 
тенгламаси 
     
 
. 
2
).  Агар 
 
 
   
 
 
бўса,  у  ҳолда 
 
 
 
ва   
 
 
 
нуқталардан  ўтувчи 
тўғри  чизиқ  абсциссалар  ўқига  параллел  бўлади  ва 
тенгламаси 
     
 
. 
 
6.5.  
ИККИТА НУҚТАДАН ЎТУВЧИ ТЎҒРИ ЧИЗИҚНИНГ 
БУРЧАК КОЭФФИЦИЕНТИНИ ТОПИШ. 
 
         
Иккита 
 
 
  
 
   
 
 
 
ва 
 
 
  
 
   
 
 
 
нуқталардан ўтувчи тўғри 
чизиқнинг бурчак коэффициентини топиш формуласи. 
 
   
 
 
   
 
 
 
   
 
 
 
 
 
 
 

---

- 59 - 
 
6.6.  
ТЎҒРИ ЧИЗИҚНИНГ КЕСМАЛАРГА НИСБАТАН 
ТЕНГЛАМАСИ 
       
Бизга 
  
 
ўқини 
 
 
      
 
ва 
  
 
ўқини  
 
 
      
 
нуқталардан 
кесиб  ўтувчи  тўғри  чизиқ  берилган  бўлсин.  Икки  нуқтадан 
ўтувчи тўғри чизиқ формуласига кўра. 
 
     
     
 
     
     
      
 
 
 
 
 
    
 
 
6.7. 
БЕРИЛГАН ВЕКТОРГА ПЕРПЕНДИКУЛЯР БЎЛГАН ВА 
БЕРИЛГАН НУҚТАДАН ЎТУВЧИ ТЎҒРИ ЧИЗИҚ 
ТЕНГЛАМАСИ 
 
        
 
 
  
 
;
 
 
 
 
нуқта  ва  нол  бўлмаган 
             
 
вектор 
берилган  бўлсин.  Тўғри  чизиқда  ихтиёрий 
       
 
нуқтани 
оламиз  ва 
 
 
 
          
 
векторни  қараймиз,   
 
 
 
                   
 
       
 
 
. 
Ҳар  қандай 
   
 
ва 
 
 
 
          
 
векторлар  перпендикуляр  бўлса 
уларнинг  скаляр  кўпайтмаси  нолга  тенг  бўлади  яъни, 
     
 
 
 
               
  
бундан:   
 
       
 
   
B
      
 
      
 
 
6.8. 
ИККИ  ТЎҒРИ ЧИЗИҚ ОРАСИДАГИ БУРЧАК 
 
     
Бизга 
 
 
 
ва 
 
 
 
тўғри  чизиқлар  ўзларининг 
     
 
     
 
 
ва  
     
 
   
 
 
кўринишдаги  тенгламалари  билан  берилган 
бўлсин.  Бу  тўғри  чизиқлар  орасидаги  бурчак 
 
 
қуйидаги 

---

- 60 - 
 
формула  ёрдамида  топилади.  Учбурчакларнинг  ташқи 
бурчаги ҳақидаги теоремага кўра 
 
 
       
 
  
ёки  
     
 
   
 
 
 
у ҳолда, 
          
 
   
 
  
 
Демак,   
 
 
     
   
 
     
 
       
 
     
 
  
 
 
     
 
 
   
 
     
 
   
 
  
 
 
    
Икки тўғри чизиқ орасидаги бурчак формуласидан фойдаланиб, 
уларнинг текисликда жойлашиш шартларини келтирамиз: