И см еж ны е вопросы view project

3.  
ТЕНГЛАМАЛАР СИСТЕМАСИ. 
 
Бизга, 
 
 
та  номаълумли, 
 
 
та  чизиқли  бир  жинсли 
бўлмаган алгебраик тенгламалар системаси берилган бўлсин.  
 
 
 
  
 
 
   
  
 
 
       
  
 
 
   
 
 
 
  
 
 
   
  
 
 
       
  
 
 
   
 
 
                             
 
  
 
 
   
  
 
 
       
  
 
 
   
 
 
               
 
 
   
 
тенгламалар системасидан қуйидаги матрицаларни тузиб 
оламиз,  
 
     
 
  
     
  
     
  
     
  
 
  
     
  
     
  
     
  
                   
 
  
     
  
     
  
     
  
 
   
 
 
асосий матрица,  
 
      
 
  
      
  
      
  
      
  
      
 
 
  
      
  
      
  
      
  
      
 
                         
 
  
     
  
     
  
     
  
    
 
 
 
 
 
кенгайтирилган матрица,  
 
бу ерда,  
   
тенгламалар системасидаги номаълумлар сони.  
   
тенгламалар системасидаги тенгламалар сони.  
   
тенгламалар  системасидаги  номаълумлар  олдидаги 
коэффицентлардан тузилган матрица.
 
  
    
тенгламалар  системасидаги  номаълумлар  олдидаги 
коэффицентлардан 
ҳамда 
озод 
ҳадлардан 
тузилган 
(
кенгайтирилган) матрица.  
 

---

- 33 - 
 
 
Таъриф: 
Агар 
   
 
тенгламалар системаси камида битта 
ечимга  эга  бўлса,  уни  биргаликда  дейилади,  акс  ҳолда 
биргаликда эмас дейилади. 
 
 
Теорема: 
(
Кронекера-Капелли). 
   
 
тенгламалар 
системаси  биргаликда  бўлиши  учун
 
                      
 
бўлиши зарур ва етарли.
 
 
1.
                   
 
бўлса  тенгламалар  системаси  ечимга 
эга эмас. 
2.
                   
 
бўлиб,  
а) 
                          
 
бўлса, 
   
 
тенгламалар 
системаси аниқ, яъни ягона ечимга эга бўлади.  
б) 
                      
 
бўлса, 
   
 
тенгламалар  системаси 
аниқмас, яъни чексиз кўп ечимга эга бўлади. 
 
3.1. ТЕНГЛАМАЛАР СИСТЕМАСИНИ ЕЧИШ УСУЛЛАРИ. 
 
3.1.1.  КРАМЕР УСУЛИ 
 
Ушбу 
учта 
номаълумли 
бир 
жинсли 
бўлмаган 
тенгламалар системасини ечиш талаб қилинсин.   
 
 
 
  
     
  
     
  
     
 
 
 
  
     
  
     
  
     
 
 
 
  
     
  
     
  
     
 
 
 
       
   
 
 
Бунинг  учун,  тенгламалар  системасидаги  номаълумлар 
олдидаги  коэффицентлардан  тузилган  қуйидаги  асосий 
детерминантни ҳисоблаймиз. 

---

- 34 - 
 
 
 
    
 
  
 
  
 
  
 
  
 
  
 
  
 
  
 
  
 
  
  
 
 
а) Агар 
    
 
бўлса, 
   
 
тенгламалар 
система ягона ечимга эга бўлади. 
 
б) Агар 
    
 
бўлса, 
   
 
тенгламалар 
система ечимга эга эмас  ёки 
    
 
ҳамда  
 
 
   
 
   
 
   
  
бўлса, 
   
 
тенгламалар
 
система чексиз кўп ечимга эга бўлади. 
 
 
   
 
тенгламалар
 
системасининг 
    
 
бўлгандаги  ягона  ечими 
қуйидагича топилади. 
 
 
 
   
 
 
 
  
 
  
 
 
 
  
 
  
 
 
 
  
 
  
  
 
   
 
 
 
  
 
 
 
 
   
 
  
 
 
 
  
 
  
 
 
 
  
 
  
 
 
 
  
  
 
 
   
 
 
 
  
 
 
 
 
   
 
  
 
  
 
 
 
  
 
  
 
 
 
  
 
  
 
 
  
 
   
 
 
 
  
 
 
Мисол
.
 
 
Ушбу, 
 
 
               
                
               
  
   
тенгламалар системасини  
Крамер  усулида ечинг. 
 
Ечиш:
 
Номаълумлар  олдидаги  коэффицентлардан  тузилган 
ушбу детерминантни ҳисоблаймиз, 
    
 
 
  
 
  
 
 
 
 
          
, 
демак, тенгламалар системаси ягона ечимга эга экан.      

---

- 35 - 
 
 
 
   
 
 
  
 
  
 
 
 
 
      
,       
 
 
   
 
 
  
 
 
 
 
 
 
       
,      
 
 
 
 
   
 
 
 
 
  
 
 
 
 
       
.     Демак,  
  
   
 
 
 
 
  
  
    
   
   
 
 
 
 
   
  
    
    
   
 
 
 
 
   
  
    
 
 
3.1.2.  БИР ЖИНСЛИ ТЕНГЛАМАЛАР СИСТЕМАСИНИ 
ЕЧИШ 
 
Ушбу  учта  номаълумли  бир  жинсли  бўлган  тенгламалар 
системасини ечиш талаб қилинсин.   
 
 
 
 
     
 
     
 
      
 
 
     
 
     
 
      
              
 
 
   
 
тенгламалар системасининг ечими қуйидагича топилади.
 
 
 
 
 
     
 
      
 
  
 
 
     
 
      
 
  
 
 
 
 
 
   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
,   
 
 
   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
,   
 
 
   
 
 
 
 
 
 
 
 
  
 
Демак,  
     
 
   
,    
      
 
   
,     
     
 
    
   
            
. 
 
 
 

---

- 36 - 
 
3.1.3.   
МАТРИЦА УСУЛИ 
 
Ушбу,      
 
 
  
 
 
   
  
 
 
   
  
 
 
   
 
 
 
  
 
 
   
  
 
 
   
  
 
 
   
 
 
  
 
 
   
  
 
 
   
  
 
 
   
 
 
  
         
   
 
 
тенгламалар системасини матрица усулида ечиш масаласини 
қараймиз. 
   
 
тенгламалар 
системасидан 
қуйидаги  
матрицаларни тузиб оламиз: 
 
     
 
  
 
  
 
  
 
  
 
  
 
  
 
  
 
  
 
  
 
,    
     
 
 
 
 
 
 
 
,   
       
 
 
 
 
 
 
 
. 
 
Тенгламалар  системасига  кўра,  ушбу  матрицали  тенгламани 
тузамиз, 
                 
  
    
 
ва  бу  тенгликка  юқорида 
топилган ифодаларни қўямиз.  
 
 
 
 
 
 
 
 
   
 
    
 
 
  
 
  
 
  
 
  
 
  
 
  
 
  
 
  
 
  
     
 
 
 
 
 
 
     
 
 
 
 
 
 
  
 
 
Бундан  (2)  тенгламалар  системасининг  ечимлари, 
 
 
   
 
 
 
 
 
   
 
 
  
 
 
   
 
  
ларни топамиз. 
 
Мисол
. 
Ушбу, 
 
              
                
              
 
 
тенгламалар  системасини 
матрица усулида ечинг. 
Ечиш.
 
Берилган  тенгламалар  системасидан  фойдаланиб, 
       
 
матрицаларни  тузиб  оламиз  ва 
 
 
матрицанинг 
детерминантини ҳисоблаймиз.  

---

- 37 - 
 
     
 
 
  
    
 
 
 
 
 
,     
     
 
 
 
 
,     
     
 
 
 
 
.
 
 
        
 
 
  
    
 
 
 
 
                                     
 
 
 
  
      
   
 
    
 
 
       
 
 
 
 
  
      
   
 
    
 
 
       
 
 
 
  
      
   
 
 
 
 
 
      
 
 
 
  
      
   
 
    
 
 
      
 
 
 
  
      
   
 
 
  
 
 
       
 
 
 
  
      
   
 
   
   
      
 
 
 
  
      
   
 
 
  
  
 
      
 
 
 
  
      
   
 
    
 
 
       
 
 
 
 
 
 
  
      
   
 
 
 
    
       
 
 
 
  
 
 
    
 
 
  
 
  
 
  
 
  
 
  
 
  
 
  
 
  
 
  
            
  
 
 
  
 
  
  
 
 
 
  
  
 
  
 
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
   
 
   
 
 
  
 
  
 
  
 
  
 
  
 
  
 
  
 
  
 
  
     
 
 
 
 
 
 
   
 
  
 
     
 
 
 
  
  
 
  
     
 
 
 
   
 
 
 
 
  
 
                           
                        
                         
   
 
  
 
  
   
   
     
 
 
 
     
      
      
      
 
 

---

- 38 - 
 
3.1.4.   
ГАУСС УСУЛИ 
 
 
Тенгламалар  системасини  Гаусс  усули  билан  ечишда 
биринчи тенгламадан 
 
 
 
топилади ва у иккинчи, учунчи ва ҳ.к 
тенгламаларга  қўйиб  чиқилади.  Иккинчи  тенгламадан 
 
 
  
топилиб, учунчи, тўртинчи ва ҳ.к тенгламаларга қўйилади. Бу 
жараён кетма-кет давом эттирилади ва охирги n-чи тенглама 
битта  номаълумли  тенгламага  келтирилади.  Ундан 
 
 
 
топилади  ва  унинг  қиймати  ўзидан  олдинги 
          
 
тенгламага  қўйилиб, 
 
   
 
топилади  ва  ҳ.к  ҳисоблашлардан 
сўнг 
 
 
   
 
 
лар  топилади.  Шу  сабабли  Гаусс  усули  икки 
қисмдан:  тўғри  юриш  ва  тескари  юришлардан  иборатдир.  Бу 
жараённинг  тўғри  юриш  қисми  тенгламалар  системаси  учун 
тузилган 
кенгайтирилган 
матрица 
устида 
элементар 
алмаштиришлар  бажариб,  матрицани  юқори  учбурчакли 
матрицага    келтириш  ва  ундан  тенгламалар  системасига 
ўтиш ва қайта юриш орқали ҳам амалга ошириш мумкин. 
Гаусс усулидан номаълумлари сони тўрт ва ундан юқори 
бўлган  тенгламалар  системасини  ечишда  фойдаланиш 
мақсадга мувофиқдир. 
 
Мисол.
 
Ушбу,  
 
               
                
               
  
   
тенгламалар системасини  
 
Гаусс усулида ечинг.