И см еж ны е вопросы view project

 
 

---

- 39 - 
 
Ечиш: 
 
              
                
              
 
   
 
 
 
   
 
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
   
 
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
 
  
 
  
 
  
 
 
  
   
   
  
       
   
  
 
 
  
  
  
  
 
   
 
   
   
  
       
   
 
  
 
 
  
      
               
           
       
   
 
 
      
      
      
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

---

- 40 - 
 
4. 
ВЕКТОРЛАР НАЗАРИЯСИ 
 
Йўналишга  эга  бўлган  кесмага  вектор  деб  аталади  ва  
        
 
   
 
   
 
 
 
ёки 
      
 
     
 
      
 
   
 
кўринишларда 
белгиланади.  Бу  ерда, 
 
 
   
 
   
 
 
ларга 
  
 
векторнинг  мос 
равишда 
            
координата ўқларидаги проекциялари деб 
аталади.
 
 
4.1. ВЕКТОРЛАРНИ  ҚЎШИШ 
 
             
Бир  неча  векторларнинг  йиғиндиси  деб,  шу 
векторлардан  тузилган  синиқ  чизиқларни  туташтиришдан 
ҳосил бўлган 
  
 
 
векторга айтилади. 
 
       
 
    
 
    
 
    
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.2.  ҚЎШИЛУВЧИ  ВЕКТОРЛАРНИНГ ХОССАЛАРИ 
 
 
1
0
 
 
Векторларни  қўшиш  учун  ўрин  алмаштириш  қонуни 
ўринли.  
                   
. 
 
2
0
  
Векторларни қўшиш учун группалаш қонуни ўринли. 
 
                                 .
 
 
3
0
   
Векторни  скаляр  сонга  кўпайтирганда  тарқатиш  қонуни 
ўринли. 
     
 
   
   
    
       
   
       
   
. 
 
1
a

 
4
a

 
3
a

 
2
a

 
O
 
a

 

---

- 41 - 
 
4.3.  ИККИ  ВЕКТОРНИНГ  ЙИҒИНДИСИ 
 
  
 
ва 
   
 
векторларнинг  йиғиндиси  деб,    бу  векторларга 
қурилган  параллелограмнинг  умумий  учидан  чиқувчи 
диагонали(катта диогнали)га айтилади.  
 
 
 
 
        
.
 
 
 
4.4
.  ИККИ  ВЕКТОРНИНГ  АЙИРМАСИ  
 
  
 
ва 
   
 
векторларнинг  айирмаси  деб,  шундай 
  
 
векторга 
айтиладики, унинг 
   
 
вектор билан йиғиндиси 
  
 
векторга тенг 
бўлади, яъни,  
                             
.
 
 
             
.
 
 
  
 
ва 
   
 
векторларнинг  айирмаси,  бу  векторларга  қурилган 
параллелограмнинг кичик  диагоналига тенгдир.  
 
4.5.  ВЕКТОРНИ СКАЛЯР СОНГА КЎПАЙТИРИШ. 
 
  
 
векторни  бирор 
 
 
сонга  кўпайтмаси  деб,  шундай 
      
  
векторга  айтиладики,  бу  векторнинг    модули 
        
 
бўлиб, 
йўналиши 
     
   
бўлса, 
  
 
вектор билан бир  хил  йўналишда, 
     
 
бўлса, 
  
 
вектор  билан  қарама-қарши  йўналишда 
бўлади.
 
a

 
b

 
b
a



 
a

 
b

 
b
a



 

---

- 42 - 
 
 
 
 
 
 
4.6.  
ВЕКТОРНИНГ  ЎҚДАГИ  ПРОЕКЦИЯСИ. 
 
  
 
векторнинг 
 
 
тўғри  чизиқдаги 
проекцияси(сояси)ни 
  
 
 
билан 
белгилаймиз, 
тўғри 
бурчакли 
учбурчакдан  қуйидаги  муносабат 
келиб чиқади, яъни
 
 
 
    
      
 
 
     
   
 
   
 
 
    
 
                 
    
           
. 
 
Бу  ерда, 
    
 
векторнинг  узунлиги, 
 
 
вектор  билан  тўғри 
чизиқ орасидаги бурчак, 
 
 
 
эса
 
векторнинг
 
 
 
тўғри чизиқдаги 
проекцияси.  
Баъзи хусусий ҳолларни кўрсатиб ўтамиз. . 
 
 
   
 
 
 
         
 
 
 
    
 
       
 
      
 
 
 
  
 
       
 
      
 
 
 
  
 
       
 
 
 
 
 
 
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
 
  
 
  
 
 
 
 
 
 
 
 
a

 
 
)
0
(




a

 
)
0
(




a

 
a

 
  
 
 
 
 
 
 
  
 

---

- 43 - 
 
4.7.  
ВЕКТОРНИНГ  ТЕКИСЛИКДАГИ  ПРОЕКЦИЯСИ. 
 
Текисликда боши  
   
 
   
 
 
  
ва охири 
   
 
   
 
 
 
нуқталарда 
бўлган 
  
           
 
векторнинг 
координаталар 
ўқидаги 
проекциялари:  
 
  
  
  
          
 
   
 
   
 
, 
 
  
  
  
          
 
   
 
   
 
 
 
 
  
                
 
   
 
   
 
   
 
   
 
 
 
4.8
.  ВЕКТОРНИНГ  УЗУНЛИГИ. 
 
  
 
векторнинг  узунлиги  қуйидаги  тенглик  ёрдамида  
аниқланади ва  
    
 
каби белгиланади.  
 
         
 
 
   
 
 
 
       
(текисликда),
 
 
         
 
 
   
 
 
   
 
 
 
     
(фазода). 
 
4.9
.  ВЕКТОРНИНГ  КООРДИНАТА ЎҚЛАРИДАГИ   
ПРОЕКЦИЯСИ. 
     
 
Агар 
  
 
векторнинг координата ўқлари билан ҳосил қилган 
бурчаклари  мос  равишда 
     
ва
  
 
га  тенг  бўлса,  у  ҳолда 
  
 
  
  
  
  
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
   

---

- 44 - 
 
векторнинг  координата  ўқларидаги  проекциялари  мос 
равишда қуйидагича бўлади. 
 
 
 
 
    
  
                 
 
 
 
    
  
                 
 
            
 
 
    
  
                 
 
 
4.10.  
ВЕКТОРНИНГ  ЙЎНАЛТИРУВЧИ КОСИНУСЛАРИ. 
 
 
  
  
векторнинг  йўналтирувчи  косинуслари  векторнинг 
координата 
ўқларидаги 
проекциялари 
формуласидан 
топилади. 
      
 
 
     
 ,   
      
 
 
     
 ,   
      
 
 
     
 . 
 
  
  
векторнинг йўналтирувчи косинуслари учун қуйидаги 
тенглик ўринли. 
 
   
 
       
 
     
 
     
. 
 
4.11
.  БИРЛИК  ВЕКТОР. 
 
Узунлиги  1  га  тенг  бўлган  вектор  бирлик  вектор  деб 
аталади.  Ушбу 
              
, 
               
, 
               
 
векторлар 
бирлик  векторлардир.  Одатда 
          
    
 
бирлик  векторларга, 
  
  
векторнинг  йўналиши  билан  бир  хил  бўлган  ҳамда  мос 
равишда 
            
координата  ўқларидаги  орт  векторлари 
(ортлари) деб аталади.  Ихтиёрий 
  
 
векторни ўзининг ортлари 
орқали қуйидагича  ифодалаш мумкин:  

---

- 45 - 
 
    
 
 
 
 
 
           
      
 
     
 
      
 
   
 .
 
 
 
 
 
 
 
4.12
.  ВЕКТОРНИНГ  ОРТ ВЕКТОРИ. 
 
         
  
 
векторнинг орт вектори деб, қуйидаги бирлик векторга 
айтилади  ва  
  
 
 
каби белгиланади. 
 
  
 
   
 
 
     
 
 
 
     
 
 
 
     
 
   
ёки
   
  
 
   
    
   
    
   
    
  
 
 
 
4.13.  
ВЕКТОРЛАРНИНГ СКАЛЯР КЎПАЙТМАСИ 
 
Таъриф:
 
Нолга  тенг  бўлмаган  иккита 
  
 
ва 
   
  
векторларнинг  скаляр  кўпайтмаси  деб,  шу  векторлар 
узунликларининг, 
улар 
орасидаги 
бурчак 
косинусига 
кўпайтмасига айтилади.  
 
 
     
 
   
) 
                
 .      
 
 
 
 
 
 
 
 
 
х 
0 

k
 

i
 

j
 
z 
у 
1 
1 
1 
O
 
b

 

cos
b

 
a

 
A
 
B
 
C
 

 
)
 
)
1
,
0
,
0
(
)
0
,
1
,
0
(
)
0
,
0
,
1
(






k
j
i
 

---

- 46 - 
 
Чизмада 
кўриниб 
турибдики, 
векторнинг 
проекцияси 
таърифига  кўра, 
   
 
векторнинг 
  
 
вектордаги  проекцияси 
          
 
га  тенг  ва  аксинча, 
  
 
векторнинг 
   
 
вектордаги 
проекцияси  
         
 
га тенг бўлади.
 
  
Шу  сабабли  скаляр  кўпайтмани  қуйидаги  кўринишда  ҳам 
ёзишимиз мумкин. 
     
 
   
) 
                            
   
 
                 
 
  
 
  
. 
 
      
Скаляр  кўпайтманинг  геометрик  маъноси,  биринчи 
векторнинг иккинчи вектордаги проекциясини ифодалайди. 
      
 
   
) 
           
   
 
   
  
ёки 
     
 
   
) 
             
 
  
 
  
  
ва  ўз навбатида,  
  
   
 
                  
    
ва    
  
 
  
 
                
  
ёки 
 
  
   
 
     
       
    
     
     
ва    
  
 
  
 
    
       
    
  
   
 
.